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直言三段論

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直言三段論是所有前提都是直言命題演繹推理。前兩個命題被分別稱為大前提小前提[1]。如果這個三段論是有效的,這兩個前提邏輯上蘊涵了最後的命題,它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上:中項在前提中必須周延(distribute)至少一次,形成在結論中的主詞和謂詞之間的連接。例如:

所有生物都會死。
所有人都是生物。
所以,所有人都會死。

這裏的中項「生物」在大前提中周延,大項「會死者」在大前提和結論中都不周延,小項「人」在小前提和結論中周延;這個三段論符合周延規則:中項至少在一個前提中周延。一些直言三段論不是有效的,例如:

所有鳥都有翅膀。
所有人都不是鳥。
所以,沒有人有翅膀。

即使此例子的兩個前提和結論都是正確的,中項「鳥」在大前提和小前提中周延,大項「有翅膀」在結論中周延,小項「人」在小前提和結論中周延;此三段論卻是一種大項不當謬誤,將結論「沒有人有翅膀」理解為同樣表達的「所有人沒有翅膀」如此一來方便了解其中的謬誤;此三段論不有效的原因是它不符合另一個周延規則:在結論中周延的詞項,在前提中也必須周延。在該三段論中大項「有翅膀」在結論被否定了,也就是說表達了人沒有「有翅膀」,大項在此周延,但在大前提中未周延,因為在大前提中「有翅膀」並沒有涉及該項的所有個體。


語氣和格式

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對立四邊形圖,揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係,紅色表示非空,黑色表示空。

三段論有如下典型形式:

大前提:所有M是P。
小前提:所有S是M。
結論:所有S是P。

其中S代表結論的主詞Subject),P代表結論的謂詞Predicate),M代表中詞(Middle)。

三段論的命題可分為全稱(universal)、特稱(particular),及肯定、否定,組合起來有以下四類語氣(Mood):

類型 代號 形式 範例
全稱肯定型 A(SaP) 所有S是P 所有人是會死的
全稱否定型 E(SeP) 沒有S是P 沒有人是完美的
特稱肯定型 I(SiP) 有些S是P 有些人是健康的
特稱否定型 O(SoP) 有些S不是P 有些人不是健康的

三段論中,結論中的謂詞稱作大詞(P,或稱大項),包含大詞在內的前提稱作大前提;結論中的主詞稱作小詞(S,或稱小項),包含小詞在內的前提稱作小前提;沒有出現在結論,卻在兩個前提重複出現的稱作中詞(M,或稱中項)。大詞、中詞、小詞依不同排列方式,可分成四種(Figure):

第1格 第2格 第3格 第4格
大前提 M-P P-M M-P P-M
小前提 S-M S-M M-S M-S
結論 S-P S-P S-P S-P

將以上整合在一起,三段論的大前提、小前提、結論分別可為AEIO型命題之一,又可分為4格,故總共有256種三段論(若考慮大前提與小前提對調,便有512種,但邏輯上是相同的)。

三段論依語氣與格的分類縮寫,例如AAA-1(也可以寫成1-AAA)代表「大前提為A型,小前提為A型,結論為A型,第1格」的三段論。

此外,三段論的四種格之間可相互轉換:

  • 第1格:對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第2格,對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第3格。
  • 第2格:對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第1格,對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第4格。
  • 第3格:對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第4格,對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第1格。
  • 第4格:對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第3格,對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第2格。

EI命題對換主詞和謂詞的位置而保持同原命題等價。A命題和O命題不能對換主詞和謂詞的位置,但是可以採用直接推理中的「對置法」。A命題還可以在確實主詞有元素存在的前提下,轉換成弱於原命題的I命題後再對換主詞和謂詞的位置。

有效性

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考慮各種直言三段論的有效性將是非常冗長耗時的。前人想出了三個可供選擇的方法來找出有效性。方法之一是記住下一章節中列出的所有論式。

還可以通過構造文氏圖的方法得到有效形式。因為有三種項,文氏圖需要三個交疊的圓圈來表示每一個類。首先,為小項構造一個圓圈。臨近小項的圓圈的是同小項有着交疊的大項的圓圈。在這兩個圓圈之上是中項的圓圈。它應當在三個位置有着交疊:大項,小項和大項與小項交疊的地方。一個三段論是有效的,其必然條件是通過圖解兩個前提得出結論的真實性。永不圖解結論,因為結論必須從前提推導出來。總是首先圖解全稱命題。這是通過對一個類在另一個類中沒有成員的區域加黑影來實現的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提「所有M是P」中,對M不與P交疊的所有區域加黑影,包括M與S交疊的部分。接着對小前提重複同樣的過程。從這兩個前提中可推導出在類S中所有成員也是類P的成員。但是,不能推出類P的所有成員都是類S的成員。

作為文氏圖方法的另一個例子,考慮形式EIO-1的三段論。它的大前提是「沒有M是P」,它的小前提是「有些S是M」,它的結論是「有些S不是P」。這個三段論的大項是P,它的小項是S,它的中項是M。大前提在圖中通過對交集M ∩ P加陰影表示。小前提不能通過對任何區域加黑影表示。轉而,我們可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符號來表示「有些S是M」。(注意:黑影區域和存在量化區域是互斥的)。接着因為存在符號位於S內但在P外,所以結論「存在一些S不是P」是正確的。

本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。

最後一種方法是記住下面非形式表述的幾條規則以避免謬論。儘管文氏圖對於詮釋目的是好工具,有人更喜歡用這些規則來檢驗有效性。

基本規則:

  1. 結論中周延的詞必須在前提中周延(謬誤:大詞不當小詞不當)。
  2. 中詞必須周延至少一次(謬誤:中詞不周延)。
  3. 結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等:
    1. 二前提皆肯定,則結論必須為肯定(謬誤:肯定前提推得否定結論)。
    2. 一前提是否定,則結論必須為否定(謬誤:否定前提推得肯定結論)。
    3. 二前提皆否定,則三段論必無效(謬誤:排它前提謬誤)。
  4. 結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等:
    1. 二前提皆全稱,則結論必須為全稱。
    2. 一前提是特稱,則結論必須為特稱。
    3. 二前提皆特稱,則三段論必無效。

若一個三段論式滿足以上的所有規則,就必定有效。

其他檢查:

  • 如果語境上不能假設所有提及的集合非,部分推論將會無效(謬誤:存在謬誤)。
  • 必須包含嚴格的三個詞,不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致(謬誤:四詞謬誤歧義謬誤)。

有效三段論式

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唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了AEIO全部四種命題,第二格的所有有效三段論式皆為否定結論(EO),第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論(IO),第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論(EIO)。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。

第1格 第2格 第3格 第4格
AAA AEE AAI AAI
EAE EAE EAO EAO
AII AOO AII AEE
EIO EIO EIO EIO
AAI AEO IAI IAI
EAO EAO OAO AEO

在全部256種三段論式中,有24種有效,但是如果不能確定所有提及的集合為非空,則只有15種有效。

常犯的無效三段論式

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1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO

三段論式列表

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總共有19個有效的論式,算結論弱化(全稱弱化為特稱)的5個論式則為24個有效論式,其中每一格剛好各有6個有效論式。為便於記憶,中世紀的學者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字,每個名字的加了下劃線的元音即是對應的語氣:

第1格 第2格 第3格 第4格
Barbara Camestres Darapti Bamalip
Celarent Cesare Felapton Fesapo
Darii Baroco Datisi Calemes
Ferio Festino Ferison Fresison
Barbari Camestros Disamis   Dimaris
Celaront Cesaro Bocardo Calemos

經典三段論式

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下面列出的是亞里士多德的《前分析篇》中關於前3個格的14個三段論式。

第1格

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  • AAA(Barbara)

 所有M是P。
 所有S是M。
所有S是P。

  • EAE(Celarent)

 沒有M是P。
 所有S是M。
沒有S是P。

  • AII(Darii)

 所有M是P。
 有些S是M。
有些S是P。

  • EIO(Ferio)

 沒有M是P。
 有些S是M。
有些S不是P。

第2格

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  • AEE(Camestres)

 所有P是M。
 沒有S是M。
沒有S是P。

(AEE-2是AEE-4的等價形式。這種形式還有其他推導方法。)[2]

  • EAE(Cesare)

 沒有P是M。
 所有S是M。
沒有S是P。

(EAE-2是EAE-1的等價形式。)

  • AOO(Baroco)

 所有P是M。
 有些S不是M。
有些S不是P。

(這種形式還有其他推導方法。)[3]

  • EIO(Festino)

 沒有P是M。
 有些S是M。
有些S不是P。

(EIO-2是EIO-1的等價形式。)

第3格

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  • AAI(Darapti)

 所有M是P。
 所有M是S。
有些S是P。
(這種形式需要假定有些M確實存在。)[4]

  • EAO(Felapton)

 沒有M是P。
 所有M是S。
有些S不是P。
(這種形式需要假定有些M確實存在。)[5]

  • AII(Datisi)

 所有M是P。
 有些M是S。
有些S是P。

(AII-3是AII-1的等價形式。)

  • EIO(Ferison)

 沒有M是P。
 有些M是S。
有些S不是P。

(EIO-3是EIO-1的等價形式。)

  • IAI(Disamis)

 有些M是P。
 所有M是S。
有些S是P。

(IAI-3是IAI-4的等價形式。)

  • OAO(Bocardo)

 有些M不是P。
 所有M是S。
有些S不是P。

(這種形式還有其他推導方法。)[6]

增補的論式

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第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充[7]

第4格

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  • AAI(Bamalip)

 所有P是M。
 所有M是S。
有些S是P。
(這種形式需要假定有些P確實存在。)

  • EAO(Fesapo)

 沒有P是M。
 所有M是S。
有些S不是P。

(這種形式需要假定有些M確實存在。)[8]

(EAO-4是EAO-3的等價形式。)

  • AEE(Calemes)

 所有P是M。
 沒有M是S。
沒有S是P。

  • EIO(Fresison)

 沒有P是M。
 有些M是S。
有些S不是P。

(EIO-4是EIO-1的等價形式。)

  • IAI(Dimaris)

 有些P是M。
 所有M是S。
有些S是P。

結論弱化的論式

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歷史上,AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁語名字中有字母「p」,用來指示出這些論式通過引入了某個詞項確實有元素存在的前提,將一個A命題弱化成了I命題。後人認為它們不是直言的即不是無條件的,這個問題被稱為存在性引入問題

在假定結論的主詞確定有成員存在的前提下,可將論式中的結論A弱化為結論I,結論E弱化為結論O,它們也可以被增補為有效論式,從而得到所有可能的24有效論式。結論弱化論式有5個:AAI-1(Barbari),即弱化的AAA-1;EAO-1(Celaront),即弱化的EAE-1;AEO-2(Camestros),即弱化的AEE-2;EAO-2(Cesaro),即弱化的EAE-2;AEO-4(Calemos),即弱化的AEE-4。AAI-1的結論同於AII-1的結論,EAO-1、EAO-2的結論同於EIO-1的結論,AEO-2、AEO-4的結論同於AOO-2的結論,需要注意結論弱化論式原來的結論依然成立。

謂詞演算公式的註解

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按照布爾邏輯集合代數的觀點,三段論可以解釋為:集合和集合有某種二元關係,並且集合和集合有某種二元關係,從而推論出集合和集合是否存在進而為何種可確定的二元關係。兩個集合之間的二元關係用直言命題可確定的有四種:

  • A(全稱肯定)命題:所有的元素是的元素,確定了包含於」的關係,子集超集,這是一種偏序關係包含於,並且包含於,則包含於A命題允許兩個推理方向,從元素屬於推出它屬於,從元素不屬於推出它不屬於A命題確定了差集空集
  • E(全稱否定)命題:所有的元素不是的元素,確定了是「無交集」的關係,這是一種對稱關係無交集於,同於無交集於E命題允許兩個推理方向,從元素屬於推出它不屬於,從元素屬於推出它不屬於E命題確定了交集空集
  • I(特稱肯定)命題:有些的元素是的元素,確定了是「有交集」的關係,這是一種對稱關係有交集於,同於有交集於I命題確定了交集不是空集
  • O(特稱否定)命題:有些的元素不是的元素,確定了「不包含於」的關係。O命題確定了差集不是空集

兩個全稱命題可以推出一個新的全稱命題,一個全稱命題和一個特稱命題可以推出一個新的特稱命題,兩個特稱命題無法推理。A命題可以和所有四種命題組合。E命題還可以和I命題組合,兩個否定命題和IE組合,不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式,要在AAAEEAAIIAAOOAEI這8種組合乘以4種格,共32種情況中找出。

AA組合中AAA-1是直接推出的;第4格AA組合推論出謂詞包含於主詞的關係,這不是四種命題之一,只能在謂詞確實有元素存在的前提下弱化為AAI-4。AE組合中AEE-4是直接推出的,EA組合中EAE-1是直接推出的。第3格AA組合和EA組合,在中項確定有元素存在的前提下,形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3沒有等價者。通過對換其前提E命題中主詞和謂詞的位置,從AEE-4得出其等價者AEE-2,從EAE-1的得出其等價者EAE-2,從EAO-3得出其等價者EAO-4。

AII-1、IAI-4是直接推出的,通過對換其前提I命題中主詞和謂詞的位置,從AII-1得出其等價者AII-3,從IAI-4得出其等價者IAI-3。AOO-2和OAO-3在歷史上採用了反證法,這裏採用了直接推理中的「對置法」,AOO-2、OAO-3沒有等價者。EIO-1是直接推出的,通過對換其前提E命題及/或英語And/orI命題中主詞和謂詞的位置,從EIO-1得出其等價者EIO-2、EIO-3、EIO-4。

24論式圖示

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下表以文氏圖展示24個有效直言三段論,不同欄表示不同的前提,不同外框顏色表示不同的結論,需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。

AA AE AI AO EI
AAA AAI AEE AEO EAE EAO AII IAI AOO OAO EIO
1
Barbara

Barbari

Celarent

Celaront

Darii

Ferio
2
Camestres

Camestros

Cesare

Cesaro

Baroco

Festino
3
Darapti

Felapton

Datisi

Disamis

Bocardo

Ferison
4
Bamalip

Calemes

Calemos

Fesapo

Dimatis

Fresison

參見

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註解

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  1. ^ 中國社會科學院語言研究所詞典編輯室. 现代汉语词典 2016年9月第七版. 商務印書館. 2016: 1121-1122 [2020-07-05]. ISBN 978-7-100-12450-8 (中文(大陸簡體)). .......【三段論】.......由大前提和小前提推出結論。如「凡金屬都能導電」(大前提),「銅是金屬」(小前提),「所以銅能導電」(結論)。....... 
  2. ^ 這個論式還可以推導為:
  3. ^ 這個論式還可以採用反證法來推導:
  4. ^ 直接結論是:所有M是P且S。
  5. ^ 直接結論是:所有M是S且非P。
  6. ^ 這個論式還可以採用反證法來推導:
  7. ^ 亞里士多德前分析篇》裏關於AEE-2的論證中,對小前提進行對換主詞與謂詞位置之後,得出第4格的AEE-4,亞里士多德稱之為再次得到了第1格,沒有因為大項和小項位置顛倒而專門稱之為第4格。在亞里士多德的定義中第1格為中項既是一個前提的主詞又是另一個前提的謂詞。第4格中有4個論式是其他格的等價形式、1個論式是結論弱化形式,因此亞里士多德三段論體系並無缺失。
  8. ^ 直接結論是:所有M是S且非P。

引用

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外部連結

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