定義在環形上的拉普拉斯方程上的一個解。拉普拉斯算子是橢圓算子的最有名的一個例子。
橢圓算子是數學偏微分方程理論中的一類微分算子,它是拉普拉斯算子的泛化。橢圓算子定義為所有最高階導數的係數為正的微分算子,這意味着算子沒有實的特徵方向。
橢圓算子是典型的位勢論,並且它們頻繁地出現在靜電學和連續介質力學中。橢圓算子的正則性意味着它的解通常是光滑函數(如果算子的係數是光滑的)。雙曲方程和拋物方程的穩定解通常要求解橢圓方程。
域
上的線性微分算子
被稱為橢圓算子,如果對任意
,任意非零
滿足
。
在許多應用中僅滿足上述條件還遠遠不夠,當
時可用一致橢圓條件代替它:
其中C是正常數。注意到橢圓性只依賴於最高階項。
非線性算子
是橢圓算子如果它關於
的一階泰勒展開式在任意一點處都是線性橢圓算子。
實例:二階算子[編輯]
為了說明問題,我們選取二階偏微分算子形式,
![{\displaystyle P\phi =\sum _{k,j}a_{kj}D_{k}D_{j}\phi +\sum _{\ell }b_{\ell }D_{\ell }\phi +c\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55baf44c5304b93cd8215cd0df091671ccd4ba23)
其中
.如果滿足高階項係數矩陣x
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebe767275d6febf7e290fa89fb9e5e98a0f7eb9)
為正定實係數對稱矩陣,則這樣的算子叫做橢圓算子。