從點A到點B的最速降線是一條擺線。
最速降線問題,又稱最短時間問題、最速落徑問題。問題如下:假想你正在側視的場景有高低不同的兩點,且高點不是在低點的正上方,若從高點放開一個靜止的質點讓它沿着任一路徑(直線、曲線、或折線皆可)滑到低點,其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力,則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短?在部分歐洲語言中,這個問題稱為Brachistochrone,即希臘語中的「最短」(brachistos)和「時間」(chronos)。本問題的解答是擺線(而非很多人會猜想的直線),可以用變分法證明。
1638年,伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡,證明了此線是擺線,並在1696年6月的《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各布·伯努利、萊布尼茲和洛必達都得出同一結論,即正確的答案應該是擺線的一段。除了洛必達的解外,其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。
約翰·伯努利的證明[編輯]
費馬原理說明,兩點間光線傳播的路徑是所需時間最少的路徑。約翰·伯努利利用該原理,對此問題進行解決。
運用機械能守恆定律,可以導出在恆定重力場中運動的物體的速度滿足
,
式中y表示物體在豎直方向上落下的距離,g為重力加速度。通過機械能守恆可知,經不同的曲線落下,物體的速度與水平方向的位移無關。
通過假設光在光速v在滿足:
的傳輸介質中運動形成的軌跡來導出最速降線。
約翰·伯努利注意到,根據折射定律,一束光在密度不均的介質中傳播時存在一常數
,
式中vm為常數(可認為為真空中光速c,θ為軌跡與豎直方向的夾角,dx為水平方向路徑微分,ds為運動方向路徑微分。
通過上述方程,我們可以得到兩條結論:
- 在剛開始,當質點的速度為零時,夾角也必然是零。因此,最速降線在起始處與豎直方向相切。
- 當軌跡變為水平即夾角變為90°時,速度達到最大。
為了簡化過程,我們假設質點(或光束)相對於原點(0,0)有坐標(x,y),且當下落了豎直距離D後達到了最大速度,則
.
整理折射定律式中的各項並平方得到
![{\displaystyle v_{m}^{2}(dx)^{2}=v^{2}(ds)^{2}=v^{2}((dx)^{2}+(dy)^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0f56519a5eccf36f85df24670938acf844db1a)
可以解得dx對dy有
.
代入v和vm的表達式得到
![{\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edce06cbd1ebbeb9e612eef1c3d5f158eed2e152)
這是一個由直徑為D的圓所形成的倒過來的擺線的微分方程。
雅各布·伯努利的證明[編輯]
約翰的哥哥雅各布·伯努利說明了如何從二階微分得到最短時間的情況。一種現代版本的證明如下。
如果我們從最短時間路徑發生微小移動,那麼形成三角形滿足
.
dy不變求微分,得到
![{\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae58d965f432b499af2ec97915a006e54d2174c)
最後整理得到
![{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d67d238cc5eb20c33bed4906a251ae07b11b1d)
最後的部分即二階微分下距離的改變量與給定的時間的關係。現在考慮下圖中的兩條相鄰路徑,中間的水平間隔為d2x。對新舊兩條路徑,改變量為
![{\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c13ec819992a37072e437fb1b6d126b43a3c057)
![{\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43283d91d6bd84bb36e173f495802d83774fd75)
對於最短時間的路徑,兩個時間相等,故得到
![{\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8529cad3783061363a7b2bf02ca66e9de29ac3e7)
因此最短時間的情況為
![{\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ccdc84c317a9bf40713cfe9b369137ebbda9bd)
最速降線的數學形式與最短時間[編輯]
在垂直平面上,自原點
至目的地
的最速降線具有以下數學形式:
[1]
這裏的
座標軸方向向下,且
;
為此擺線參數表達式的參數,原點處
。
物體自原點沿最速降線滑至
處所需的時間可由以下積分式給出:
。
利用
以及
,並以
作為參數,整理後得
![{\displaystyle {\frac {ds}{v}}={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\mathrm {d} \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e94a0fabb0f57f1f98c0dec26fd60ddea7263a)
。
自此擺線的參數式中易知
的最大值為
,此值必須等於擺線的繞轉圓直徑
,因此
![{\displaystyle k={\sqrt {2r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0db8af008041420e640add1a00c43174e09a4a7)
。
現假設終點與原點直線距離
,且終點對原點的仰角為
。利用此擺線的參數式,可知
![{\displaystyle l={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=r{\sqrt {\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbb2adbea6172bbaaffcd87d575324d09cb4ddc)
最速降線問題的終點俯角-最短下滑時間關係曲線。圖中原點到終點的直線距離定為1.00公尺,下滑時間隨俯角增大而縮短。
![{\displaystyle \tan \phi ={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f92b183ae08ea1fa36d0c5c955c938395387b7)
利用
的關係式求出
,並代回下滑時間中,得
![{\displaystyle t\,\left(\,l,\,\theta \right)={\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e79681b528aba5f96a77cf4da126111b4886e7d)
綜合上述,討論在
已知的情況下,下滑時間
與俯角
的關係為
。
外部連結[編輯]
參考資料[編輯]
- ^ Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld. [2014-08-10]. (原始內容存檔於2020-11-12).