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曲率半徑

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曲率半徑與曲率中心

微分幾何中,曲率半徑R曲率的倒數。 對於曲線上一點,曲率半徑等於最貼近該點曲線的圓弧半徑。 對於曲面上一點,曲率半徑是最貼合該點的法向截面或其組合的圓弧半徑。 [1] [2] [3]

定義

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對於空間曲線,曲率半徑是曲率向量的長度。

對於平面曲線,則曲率半徑是曲線上固定一點的弧長的微分與切角的微分之比[3]絕對值

κ曲率

公式

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二維

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若曲線在笛卡爾坐標中為y(x) 作為函數圖,則其曲率半徑為(假設曲線可進行二階微分)

其中|z|z的絕對值。

如果曲線是關於函數x(t)y(t)的參數方程,則其曲率半徑為

其中

由此啟發,該結果可以表示為[2]

其中

n維

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γ : ℝ → ℝnn中的參數方程曲線,則曲線上每個點的曲率半徑ρ : ℝ → ℝ ,由[3]此可知

特殊情況下,若f(t)是從映射到的函數,則其圖象的曲率半徑γ(t) = (t, f (t))


推導過程

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γ如上,並固定t 。我們想要找到一個與t處的γ零階、一階和二階導數相匹配的參數方程圓的半徑ρ 。顯然,半徑與位置γ(t) 無關,而與速度γ′(t)和加速度γ″(t) 有關。 由向量vw只能獲得三個獨立純量,即v · vv · ww · w 。因此,曲率半徑一定是關於這三個純量函數。即 |γ′(t)|2, |γ″(t)|2γ′(t) · γ″(t)[3]

n中圓的一般參數方程為

其中c ∈ ℝn是圓心(無關,因為它在求導過程中消失), a,b ∈ ℝn是長度為ρ的相互垂直的向量(即, a · a = b · b = ρ2a · b = 0 ), h : ℝ → ℝ是在t處可兩次微分任意函數。

g的相關導數為

若現在將g的導數等同於tγ的相應導數,可得

關於三個未知數( ρh′(t)h″(t) )的三個方程可以求解其中的ρ ,可得曲率半徑的公式為:

提高可讀性省略參數t ,可得

示例

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半圓與圓

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對於一個半徑為a的在上半平面的半圓

橢圓(紅線)及其漸屈線 (藍線)。點是橢圓的頂點, 及最大或最小的曲率半徑的點

對於一個半徑為a的在下半平面的半圓

該半徑為a有等於a的曲率半徑。

橢圓

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在長軸為2a短軸為2b橢圓中, 長軸的頂點有該橢圓上最小的曲率半徑, ; 並且短軸的頂點有該橢圓上最大的曲率半徑 R = a2/b

令橢圓的曲率半徑是關於參數t的方程, 即[4]

其中

令橢圓的曲率半徑是關於參數θ的方程, 即

其中橢圓的偏心率e, 是

應用

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參考

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  1. ^ Weisstien, Eric. Radius of Curvature. Wolfram Mathworld. [15 August 2016]. (原始內容存檔於2024-08-25). 
  2. ^ 2.0 2.1 Kishan, Hari. Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist. 2007. ISBN 9788126908202 (英語). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. Differential and Integral Calculus Sixth. New York: MacMillan. 1962 (英語). 
  4. ^ Weisstein, Eric W. Ellipse. mathworld.wolfram.com. [2022-02-23]. (原始內容存檔於2000-02-29) (英語).