對偶線性規劃

一個線性規劃問題（「原問題」）的對偶線性規劃問題（「對偶問題」）是另一個線性規劃問題，由原問題以一定方式派生而來：

• 原問題中的每個變量都變為對偶問題中的一個限制條件；
• 原問題中的每個限制條件都變為對偶問題中的一個變量；
• 原問題若是求目標函數的最大值，則對偶問題是求最小值，反之亦然。

對偶問題的構建方法

對於以下形式的兩個線性規劃問題：

問題甲	問題乙
最大化目標函數 $\max _{x}c^{T}x=\max _{x}\sum _{i}c_{i}x_{i}$	最小化目標函數 $\min _{y}b^{T}y=\min _{y}\sum _{i}b_{i}y_{i}$
n個變量$x_{1},\ldots ,x_{n}$ $x_{i}\geq 0$ $x_{j}\leq 0$ $x_{k}\in \mathbb {R}$	n個限制條件$A^{T}y\lesseqqgtr c$ 第i個限制條件為$\geq c_{i}$ 第j個限制條件為$\leq c_{j}$ 第k個限制條件為$=c_{k}$
m個限制條件$Ax\lesseqqgtr b$ 第i個限制條件為$\geq b_{i}$ 第j個限制條件為$\leq b_{j}$ 第k個限制條件為$=b_{k}$	m個變量$y_{1},\ldots ,y_{m}$ $y_{i}\leq 0$ $y_{j}\geq 0$ $y_{k}\in \mathbb {R}$

我們稱甲、乙互為對偶問題，即：甲為乙的對偶問題，乙為甲的對偶問題。由此定義可知，原問題是其對偶問題的對偶問題。

特別地， 若所有限制條件的符號方向相同，我們有以下形式：

名稱	問題甲	問題乙
對稱對偶問題	Maximize cTx 滿足 Ax ≤ b, x ≥ 0	Minimize bTy 滿足 ATy ≥ c, y ≥ 0
非對稱對偶問題	Maximize cTx 滿足 Ax ≤ b	Minimize bTy 滿足 ATy = c, y ≥ 0
	Maximize cTx 滿足 Ax = b, x ≥ 0	Minimize bTy 滿足 ATy ≥ c

例子

以下甲乙互為對偶問題。

問題甲	問題乙
${\begin{aligned}{\text{maximize }}&3x_{1}+4x_{2}\\{\text{s.t. }}&5x_{1}+6x_{2}=7\\&x_{1}\geq 0,x_{2}\geq 0\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\text{minimize }}&7y_{1}\\{\text{s.t. }}&5y_{1}\geq 3\\&6y_{1}\geq 4\\&y_{1}\in \mathbb {R} \end{aligned}}$

對偶定理

對於互相對偶的最大化問題甲與最小化問題乙，我們有如下兩個定理。

弱對偶定理

若$x\in \mathbb {R} ^{n}$、$y\in \mathbb {R} ^{m}$分別滿足問題甲、乙的限制條件，則：$c^{T}x\leq b^{T}y$。

強對偶定理

若$x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}$、$y^{*}\in \mathbb {R} ^{m}$分別滿足問題甲、乙的限制條件，則：$x^{*},y^{*}$分別為問題甲、乙的最優解（即$x^{*}=\operatorname {argmax} _{x}c^{T}x$，$y^{*}=\operatorname {argmin} _{y}b^{T}y$），若且唯若$c^{T}x^{*}=b^{T}y^{*}$。

換言之，若甲、乙均有解，則$\max _{x}c^{T}x=\min _{y}b^{T}y$。

無限值解與無解問題

由對偶定理，不難得出以下結論：

• 若原問題有無限值解，則其對偶問題無解；
• 若對偶問題有無限值解，則其原問題無解。

但是，原問題和對偶問題可同時無解。

對偶問題的解讀

經濟學角度

主條目：影子價格

甲公司有擁有一間核酸檢測實驗室，提供普通、VIP兩種核酸檢測服務，每人次普通、VIP檢測分別可獲利潤10元、20元。每人次普通、VIP檢測分別需要佔用1單位、8/3單位人力，而該實驗室有每天4千單位人力。由於PCR擴增儀檢測能力限制，該實驗室每天最多檢測2千人次。另由於政府規管，該實驗室每天最多允許1.5千人次VIP檢測。因核酸檢測需求旺盛，不論該實驗室提供多少次核酸檢測服務均有人買單。問題甲：該實驗室每天應該分別提供多少次普通、VIP核酸檢測服務？

現乙公司欲租用該核酸檢測實驗室。問題乙：乙公司應該為每單位人力、每人次核酸檢測能力、每人次VIP檢測許可分別支付多少錢一天？

問題甲	問題乙
利潤最大化 $\max _{x}c^{T}x=\max _{x}10x_{1}+20x_{2}$	成交價格最小化 $\min _{y}b^{T}y=\min _{y}4y_{1}+2y_{2}+1.5y_{3}$
2個變量$x_{1},x_{2}$ $x_{1}\geq 0$（普通核酸服務次數） $x_{2}\geq 0$（VIP核酸服務次數）	2個限制條件$A^{T}y\geq c$ $y_{1}+y_{2}\geq 10$（否則甲公司寧可自己做普通核酸服務） ${\frac {8}{3}}y_{1}+y_{2}+y_{3}\geq 20$（否則甲公司寧可自己做VIP核酸服務）
3個限制條件$Ax\leq b$ $x_{1}+{\frac {8}{3}}x_{2}\leq 4$（人手限制） $x_{1}+x_{2}\leq 2$（檢測能力限制） $x_{2}\leq 1.5$（政府免許限制）	3個變量$y_{1},y_{2},y_{3}$ $y_{1}\geq 0$（單位人力價格） $y_{2}\geq 0$（單位檢測能力價格） $y_{3}\geq 0$（單位免許價格）

問題甲、乙均有解。由前述強對偶定理可知，甲公司能獲得的最大利潤即是乙公司能獲得的最低成交價格。最優解為：$x_{1}=0.8,x_{2}=1.2$

幾何角度

主條目：最大流最小割定理 § 線性規劃公式