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體 (數學)

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「體」的各地常用名稱
中國大陸
臺灣[1]

抽象代數中,(德語:Körper,英語:Field)是一種具有加法跟乘法的集合(代數結構),且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上,正是數體以及四則運算的推廣,所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。

體是的一種。但區別在於體要求它的非零元素可以做除法,且體的乘法有交換律。

最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體,例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等,都很常在數學的領域中被使用或是研究,特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠着有限體。

在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論,由ÉvaristeGalois在1830年代提出,致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果,解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外,還解決了五次方程不能有公式解的問題。

正式定義

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給定集合 ,它具有了以下兩種二元運算

  • (其中 慣例上簡記為
  • (其中 慣例上簡記為 甚至是

滿足:

  1. 交換群,且其單位元為
  2. 交換群
  3. 分配律:對所有

那稱「 為體」,當二元運算的符號不重要時,亦可將 簡記為

慣用符號與稱呼

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(1)體的代號:

有時會基於德語 Körper ,以字母 代稱體,但也會基於英語 Field 代稱。

(2)加法與乘法:

習慣上, 被稱為乘法 的單位元會記為 ,並稱為 乘法單位元

類似地, 被稱為加法 被稱為體的加法單位元。所以在省略括弧後,仍依照先乘後加的方式閱讀。

(3)減法與除法:

對於任意 ,會依據群的習慣,將 的加法反元素記做 ,並將 簡記為 ,並可暱稱為減法

類似地,若 的乘法反元素記做 ,並將 簡記為 ,並可暱稱為除法

基本性質

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定理 (1) —  為體,那對任意

證明

根據分配律和加法單位元的性質會有

這樣的話,根據加法結合律還有加法單位元的性質有

故得証。

以上的定理也證明了,只要交換群且有分配律,就足以決定 相關乘法的值。所以正式定義中把 排除在乘法的交換群之外是不會有問題的。也就是說

系理 乘法交換律 —  為體,那對任意

系理 乘法結合律 —  為體,那對任意

定理 (2) —  為體,那對任意

證明

根據乘法交換律跟分配律有

這樣根據定理(1)和加法交換律就有

所以

再考慮到乘法的交換律有

故得証。

定理 (3) —  為體,若 ,則

證明

根據乘法的結合律和交換律,還有乘法單位元的性質會有

故得証。

定理 (4) —  為體,那對任意 ,若 , 則

證明

如果 ,那對任意 都有 ,所以以下只考慮 狀況。

假設存在 滿足 ,但同時 ,這樣根據定理(1)和(3)有

這顯然是矛盾的,所以根據反證法德摩根定理,對所有的 ,只能「 其中一者為 」或「 」,也就等價於:

「對所有 ,若 其中一者為 。」

故得証。

  • F中的所有非零元素的集合(一般記作F×)是一個關於乘法的阿貝爾群F×的每個有限子群都是循環群
  • 若存在正整數n使得0 = 1 + 1 + ... + 1(n個1),那麼這樣的n中最小的一個稱為這個體的特徵,特徵要麼是一個質數p,要麼是0(表示這樣的n不存在)。此時中最小的子體分別是或有限體,稱之為素體
  • 一個交換環是體當且僅當它的理想只有自身和零理想。
  • 選擇公理成立的假設下,對每個體F都存在着唯一的一個體G(在同構意義上),G包含FGF代數擴張,並且G代數封閉G稱作由F確定的代數閉包。在很多情況下上述的同構並不是唯一的,因此又說GF的一個代數閉包。

例子

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  • 許多常見的數體都是體。比如說,全體複數的集合與其加法和乘法構成一個體。全體有理數的集合 與其加法和乘法也是一個體,它是子體,並且不包含更小的子體了。
  • 代數數體:代數數體是有理數體有限擴張體,也就是說代數數體是上的有限維向量空間。代數數體都同構於的子體,並且這個同構保持不變,即這個同構把每個有理數都映射到它自身。代數數體是代數數論研究的物件。
  • 代數數構成的體:所有的代數數的集合對於加法和乘法構成一個體,記作是有理數體的代數閉包(見下)。是特徵為零的代數封閉的體的一個例子。
  • 全體實數的集合對於加法和乘法構成一個體。實數體是複數體的子體,也是一個有序體。後者使得實數體上能夠建立起微積分理論。
  • 所有的實代數數的集合也構成一個體,它是的一個子體
  • 任意一個有限體的元素個數是一個質數q的乘方,一般記作Fq,就是所謂的伽羅瓦體。任意一個元素個數是質數q的體都同構於Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的體:F2F2只含有兩個元素0和1,運算法則如下:
 
0 1
0 0 1
1 1 0
0 1
0 0 0
1 0 1
  • EF是兩個體,EF的子體,則FE擴張體。設xF中的一個元素,則存在着一個最小的同時包含ExF的子體,記作E (x)E (x)稱作EF中關於 x單擴張。比如說,複數體就是實數體中關於虛數單位i的單擴張
  • 每一個有乘法單位元的環R都對應着一個包含它的體,稱為它的分式體,記作K(R)。分式體的具體構造方法是定義類似於最簡分數的等價類,再將環「嵌入」其中(詳見分式體)。可以證明,K(R)是包含R的「最小」的體。
  • F是一個體,定義F (X)是所有以F中元素為系數的分式的集合,則F (X)F的一個擴張體。F (X)F上的一個無窮維的向量空間,這是體的超越擴張的一個例子。
  • F是一個體,p(X)是多項式環F[X]上的一個不可約多項式,則商環F[X]/<p(X)>是一個體。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。舉例來說,R[X]/<X2 + 1>是一個體(同構於複數體)。可以證明,F的所有單擴張都同構於此類形式的體。
  • V是體F上的一個代數簇,則所有V → F 的有理函數構成一個體,稱為V函數體
  • S是一個黎曼曲面,則全體S → C 亞純函數構成一個體。
  • 由於序數不是集合,因此在其上定義的尼姆數不能構成真正的體。但它滿足體的所有條件,且其任意封閉子集(如小於的所有自然數構成的子集)都是體。

有限體

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有限體是一個體有着有限多個元素,其元素個數也跟體的階數相同,按照體的定義,可以知道為最小的有限體,因為根據定義,一個體至少包含兩個元素

通常來說,最簡單的質數階體,就是,此處為質數,在這個體上的加法與乘法等同於在整數上的運算,然後除以,取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體,通常我們將這個體記作。要注意的是,當n為合成數時並不是一個有限體,例如在 ,因此 不能形成群。

如果我們將向量空間,則我們將V稱作有限體向量空間,其中,可知這個向量空間中,有個元素。

如果我們將有限體放入矩陣,也就是,則此矩陣的元素有

歷史

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歷史上,三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題,第二個是代數數論,第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年,由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根x1, x2, x3的置換,在以下的表達

(x1 + ωx2 + ω2x3)3

(其中ω是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上,拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅弗朗索瓦·韋達 的經典解法,其解法藉由簡化三次方程關於未知 x 到一個 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察,拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有着更全面的延伸。

建構體

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伽羅瓦理論

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請參見伽羅瓦理論

體的不變量

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應用

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參見

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參考文獻

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  1. ^ 張幼賢等. 學術名詞編譯系列叢書-數學名詞(第四版). 台北市: 國家教育研究院. 2014: p149 [2019-02-09]. ISBN 9789860440454. (原始內容存檔於2020-12-06) (中文(臺灣)).