跳至內容

吉洪諾夫正則化

維基百科,自由的百科全書

吉洪諾夫正則化得名於安德烈·尼古拉耶維奇·吉洪諾夫,是在自變量高度相關的情景下估計多元回歸模型係數的方法。[1]它已被用於許多領域,包括計量經濟學、化學和工程學。[2]吉洪諾夫正則化為非適定性問題正則化中最常見的方法。在統計學中,本方法被稱為脊迴歸嶺回歸ridge regression);在機器學習領域則稱為權重衰減權值衰減weight decay)。因為有不同的數學家獨立發現此方法,此方法又稱做吉洪諾夫-米勒法Tikhonov–Miller method)、菲利浦斯-圖米法Phillips–Twomey method)、受限線性反演constrained linear inversion method),或線性正規化linear regularization)。此方法亦和用在非線性最小二乘法英語Non-linear_least_squares萊文貝格-馬夸特方法相關。它對於緩解線性回歸中的多重共線性問題特別有用,這常見於有大量參數的模型中。[3]總的來說,這種方法提高了參數估計的效率,但也有可容忍的偏差(見偏差-方差權衡)。[4]

該理論於1970年由Hoerl與Kennard發表在《技術計量學》上的文章《嶺回歸:非正交問題的偏估計》及《嶺回歸:非正交問題中的應用》中首次提出。[5][6][1] This was the result of ten years of research into the field of ridge analysis.[7]

嶺回歸是通過創建嶺回歸估計量(RR)實現的。當線性回歸模型具有多重共線(高度相關)的自變量時,嶺回歸對於最小二乘估計的不精確性是一種可能的解決方案。這提供了更精確的嶺參數估計,因為它的方差和均方估計量通常小於先前推導的最小二乘估計量。[8][2]

當求解超定問題(即)時, 矩陣 的協方差矩陣 奇異或接近奇異時,利用最小二乘方法求出的結果 會出現發散或對 不合理的逼近。為了解決這一問題,吉洪諾夫於1963年提出了利用正則化項修改最小二乘的代價函數的方法,修改後的代價函數如下:

式中 稱為正則化參數[9],這種方法被稱為吉洪諾夫正則化。

概覽

[編輯]

在最簡單的情況下,向主對角線添加正元素可以緩解近奇異矩量矩陣問題,減少條件數。類似於最小二乘估計量,簡單嶺估計量可定義為

其中是回歸子,設計矩陣單位矩陣,嶺參數則是矩量矩陣對角線的恆定位移。[10]可以證明這個估計量是約束最小二乘問題的解,可表達為拉格朗日形式:

其說明,不過是約束的拉格朗日乘數[11]通常要根據啟發式準則選擇,以便不完全滿足約束。特別是在約束,即非約束約束(non-binding constrain),嶺估計量退化為普通最小二乘法。下面討論一種更通用的吉洪諾夫正則化方法。


歷史

[編輯]

吉洪諾夫正則化是在許多不同背景下獨立發明的。 安德烈·吉洪諾夫[12][13][14][15][16]和David L. Phillips最早使用了這種方法。[17] 有限維情形由採用統計方法的Arthur E. Hoerl[18]和Manus Foster完成,後者將其解釋為克里金法濾子。[19]自Hoerl之後,這種方法在統計學文獻中被稱為嶺回歸,[20]以沿單位矩陣對角線的形狀命名。


吉洪諾夫正則化

[編輯]

假設對已知矩陣和向量,我們希望找到向量使[需要解釋]

標準方法是普通最小二乘法線性回歸。[需要解釋]但若沒有滿足方程或超過一個滿足(即解不唯一),則待研究問題為不適定問題,普通最小二乘估計會導致方程組過定欠定。大多數現實世界的現象在前向問題中都具有低通濾性質[需要解釋],其中映射到。因此在解決逆問題時,逆映射作為高通濾波器,具有放大噪聲的不良趨勢(特徵值/奇異值在逆映射中最大,在正映射中最小)。此外,普通最小二乘隱式地消除了位於的零空間的的重建版本的每個元素,而非允許將模型用作的先驗。 普通最小二乘尋找最小化殘差平方和,可以緊湊地寫作

其中是歐幾里得範數。

為優先選擇具有所需性質的特定解,可在最小化中包含正則化項:

其中吉洪諾夫矩陣需要適當選取,許多時候選為單位矩陣的純量倍數(),並優先考慮範數較小的解;這叫做L2正則化[21]這之外,若認為基礎向量幾乎連續,則可使用高通運算(如遞推關係式或加權離散傅里葉變換)以實現平滑。這種正則化改進了問題條件,從而實現了直接的數值求解。顯式解表示為,是這樣得到:

正則化的效果可能因矩陣的尺度而異。若擇,如(ATA)−1存在,則簡化為非正則化最小二乘解。

除線性回歸外,L2正則化還有許多應用場景,如邏輯斯諦回歸支持向量機分類[22]以及矩陣分解。[23]

廣義吉洪諾夫正則化

[編輯]

對於和數據誤差的多元正態分佈,c可以應用變量的變換來簡化上述情況。等價地,可以尋求最小化

其中表示加權範數平方(比較馬哈拉諾比斯距離)。在貝葉斯解釋中,的逆協方差矩陣期望的逆協方差矩陣。吉洪諾夫矩陣為矩陣的分解(如科列斯基分解),可視作白化變換器。

這個推廣問題有最優解,可以使用公式顯式地寫為

或等效地,當Q非空:

拉夫連季耶夫正則化

[編輯]

有時可以避免使用,這由米哈伊爾·拉夫連季耶夫指出。[24]例如,若是對稱正定矩陣,即,則其逆可以用來在廣義吉洪諾夫正則化中構造加權範數平方,則有最小化

或等價地由常數項,

.

該最小化問題有最優解,可以緊湊地寫作公式

,

是廣義吉洪諾夫問題的解,其中

拉夫連季耶夫正則化對原吉洪諾夫正則化有利,因為拉夫連季耶夫矩陣條件數比吉洪諾夫矩陣小。

希爾伯特空間中的正則化

[編輯]

典型的離散線性非適定問題由積分方程的離散化引起,可以在原始的無窮維背景中實現吉洪諾夫正則化。上面,我們可以將解釋為希爾伯特空間上的緊算子的域與範圍上的元素。自伴隨有界可逆運算。


與奇異值分解和維納濾波器的關係

[編輯]

這個最小二乘解可用奇異值分解以特殊的方式分析。給定奇異值分解

,奇異值,則吉洪諾夫正則解可表為

其中的對角值為

其餘地方都是0。這表明吉洪諾夫參數對正則化問題條件數的影響。對於廣義情況,可以使用廣義奇異值分解推導出類似的表示。[25]

最後,其與維納濾波有關:

其中維納權為

確定吉洪諾夫因子

[編輯]

最佳正則化參數一般未知,在實踐中常常臨時確定。一種可能的方法依賴於下面描述的貝葉斯解釋。其他方法包括偏差原理、交叉驗證、L曲線法、[26]約束最大似然法和無偏預測風險估計。Grace Wahba證明,這種最優參數用留一交叉驗證最小[27][28]

其中殘差平方和自由度

用前面的SVD分解,可以簡化上述表達式:

與概率表述的關係

[編輯]

逆問題的概率公式引入了(當所有不確定量都為正態量時)表示模型參數先驗不確定性的協方差矩陣,以及表示觀測參數不確定性的協方差矩陣[29]當它們都是對角各向同性矩陣(),且,則逆理論方程簡化為上述方程,且

貝葉斯解釋

[編輯]

雖然選擇這個正則化問題的解可能看起來是人為的,而且矩陣似乎相當武斷,但從貝葉斯的角度來看,這個過程是合理的。[30]注意,不適定問題必須引入額外假設才能得到唯一解。在統計學中,先驗分佈有時被認為是多元正態分佈。為簡單起見,此處做出以下假設:均值為零;組分獨立;組分標準差均為。數據也受誤差影響,並且假設中的誤差獨立,均值為零,標準差為。在這些假設下,根據貝葉斯定理,吉洪諾夫正則化解是給定數據和的先驗分佈的最可能的解。[31]

正態性假設被同方差和無關誤差假設代替,且若假設均值仍是零,則高斯-馬爾可夫定理意味着解是最小 無偏線性估計量[32]

另見

[編輯]

註釋

[編輯]

參考文獻

[編輯]
  1. ^ 1.0 1.1 Hilt, Donald E.; Seegrist, Donald W. Ridge, a computer program for calculating ridge regression estimates. 1977 [2023-09-24]. doi:10.5962/bhl.title.68934. (原始內容存檔於2023-02-10). [頁碼請求]
  2. ^ 2.0 2.1 Gruber, Marvin. Improving Efficiency by Shrinkage: The James--Stein and Ridge Regression Estimators. CRC Press. 1998: 2 [2023-09-24]. ISBN 978-0-8247-0156-7. (原始內容存檔於2022-05-10). 
  3. ^ Kennedy, Peter. A Guide to Econometrics Fifth. Cambridge: The MIT Press. 2003: 205–206. ISBN 0-262-61183-X. 
  4. ^ Gruber, Marvin. Improving Efficiency by Shrinkage: The James–Stein and Ridge Regression Estimators. Boca Raton: CRC Press. 1998: 7–15. ISBN 0-8247-0156-9. 
  5. ^ Hoerl, Arthur E.; Kennard, Robert W. Ridge Regression: Biased Estimation for Nonorthogonal Problems. Technometrics. 1970, 12 (1): 55–67. JSTOR 1267351. doi:10.2307/1267351. 
  6. ^ Hoerl, Arthur E.; Kennard, Robert W. Ridge Regression: Applications to Nonorthogonal Problems. Technometrics. 1970, 12 (1): 69–82. JSTOR 1267352. doi:10.2307/1267352. 
  7. ^ Beck, James Vere; Arnold, Kenneth J. Parameter Estimation in Engineering and Science. James Beck. 1977: 287 [2023-09-24]. ISBN 978-0-471-06118-2. (原始內容存檔於2022-04-26). 
  8. ^ Jolliffe, I. T. Principal Component Analysis. Springer Science & Business Media. 2006: 178 [2023-09-24]. ISBN 978-0-387-22440-4. (原始內容存檔於2022-04-18). 
  9. ^ Tikhonov A.N. Solution of Incorrectly Formulated Problems and the Regularization Method. Soviet Mathematics Doklady. 1963, 4: 1035–1038. 
  10. ^ 關於實踐中的選擇,參Khalaf, Ghadban; Shukur, Ghazi. Choosing Ridge Parameter for Regression Problems. Communications in Statistics – Theory and Methods. 2005, 34 (5): 1177–1182. S2CID 122983724. doi:10.1081/STA-200056836. 
  11. ^ van Wieringen, Wessel. Lecture notes on ridge regression. 2021-05-31. arXiv:1509.09169可免費查閱 [stat.ME]. 
  12. ^ Tikhonov, Andrey Nikolayevich. Об устойчивости обратных задач [On the stability of inverse problems]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1943, 39 (5): 195–198. (原始內容存檔於2005-02-27). 
  13. ^ Tikhonov, A. N. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1963, 151: 501–504. . Translated in Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method. Soviet Mathematics: 1035–1038. 
  14. ^ Tikhonov, A. N.; V. Y. Arsenin. Solution of Ill-posed Problems. Washington: Winston & Sons. 1977. ISBN 0-470-99124-0. 
  15. ^ Tikhonov, Andrey Nikolayevich; Goncharsky, A.; Stepanov, V. V.; Yagola, Anatolij Grigorevic. Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems. Netherlands: Springer Netherlands. 30 June 1995 [9 August 2018]. ISBN 079233583X. (原始內容存檔於2021-06-20). 
  16. ^ Tikhonov, Andrey Nikolaevich; Leonov, Aleksandr S.; Yagola, Anatolij Grigorevic. Nonlinear ill-posed problems. London: Chapman & Hall. 1998 [9 August 2018]. ISBN 0412786605. (原始內容存檔於2021-06-15). 
  17. ^ Phillips, D. L. A Technique for the Numerical Solution of Certain Integral Equations of the First Kind. Journal of the ACM. 1962, 9: 84–97. S2CID 35368397. doi:10.1145/321105.321114. 
  18. ^ Hoerl, Arthur E. Application of Ridge Analysis to Regression Problems. Chemical Engineering Progress. 1962, 58 (3): 54–59. 
  19. ^ Foster, M. An Application of the Wiener-Kolmogorov Smoothing Theory to Matrix Inversion. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. 1961, 9 (3): 387–392. doi:10.1137/0109031. 
  20. ^ Hoerl, A. E.; R. W. Kennard. Ridge regression: Biased estimation for nonorthogonal problems. Technometrics. 1970, 12 (1): 55–67. doi:10.1080/00401706.1970.10488634. 
  21. ^ Ng, Andrew Y. Feature selection, L1 vs. L2 regularization, and rotational invariance (PDF). Proc. ICML. 2004 [2023-09-24]. (原始內容存檔 (PDF)於2023-03-15). 
  22. ^ R.-E. Fan; K.-W. Chang; C.-J. Hsieh; X.-R. Wang; C.-J. Lin. LIBLINEAR: A library for large linear classification. Journal of Machine Learning Research. 2008, 9: 1871–1874. 
  23. ^ Guan, Naiyang; Tao, Dacheng; Luo, Zhigang; Yuan, Bo. Online nonnegative matrix factorization with robust stochastic approximation. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems. 2012, 23 (7): 1087–1099. PMID 24807135. S2CID 8755408. doi:10.1109/TNNLS.2012.2197827. 
  24. ^ Lavrentiev, M. M. Some Improperly Posed Problems of Mathematical Physics. New York: Springer. 1967. 
  25. ^ Hansen, Per Christian. Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems: Numerical Aspects of Linear Inversion 1st. Philadelphia, USA: SIAM. Jan 1, 1998. ISBN 9780898714036. 
  26. ^ P. C. Hansen, "The L-curve and its use in the numerical treatment of inverse problems", [1]頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  27. ^ Wahba, G. Spline Models for Observational Data. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics (Society for Industrial and Applied Mathematics). 1990. Bibcode:1990smod.conf.....W. 
  28. ^ Golub, G.; Heath, M.; Wahba, G. Generalized cross-validation as a method for choosing a good ridge parameter (PDF). Technometrics. 1979, 21 (2): 215–223 [2023-09-24]. doi:10.1080/00401706.1979.10489751. (原始內容存檔 (PDF)於2017-12-15). 
  29. ^ Tarantola, Albert. Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation 1st. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). 2005 [2018-08-09]. ISBN 0898717922. (原始內容存檔於2021-02-25). 
  30. ^ Greenberg, Edward; Webster, Charles E., Jr. Advanced Econometrics : A Bridge to the Literature. New York: John Wiley & Sons. 1983: 207–213. ISBN 0-471-09077-8. 
  31. ^ Vogel, Curtis R. Computational methods for inverse problems. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2002. ISBN 0-89871-550-4. 
  32. ^ Amemiya, Takeshi. Advanced Econometrics需要免費註冊. Harvard University Press. 1985: 60–61. ISBN 0-674-00560-0. 

閱讀更多

[編輯]