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葉狀結構

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里布葉狀結構的2維截面
里布葉狀結構的3維模型

微分幾何中,葉狀結構foliation)是n-流形上的等價關係等價類是連通單射浸入子流形,都具有相同維度p,以實坐標空間分解為標準嵌入子空間陪集為模型。等價類稱作葉狀結構的(leaf)。[1]若要求流形和/或子流形具有(類的)分段線性微分解析結構,就可分別定義分段線性、微分、解析葉狀結構。在最重要的類微分葉狀結構中,通常r ≥ 1(否則就是拓撲葉狀結構)。[2]p(葉的維度)稱作葉狀結構的維度,稱作其余維數

在數學物理學家關於廣義相對論的一些論文中,「葉狀結構」用於描述:相關的洛倫茲流形((p+1)維時空)分解為p超平面,指定為梯度處處不為零的實值光滑函數純量場)的水平集;這光滑函數通常被假定為時間函數,梯度處處類時間,因此其水平集都是類空間超平面。為與標準數學術語保持一致,這些超平面通常稱作葉狀結構的葉。[3]注意,雖然這情形確實構成標準數學意義上的余維-1葉狀結構,但這類例子是全局平凡的。雖然(數學)余維-1葉狀結構的葉局部上總是函數的水平集,但一般不能在全局這樣表達,[4][5]因為葉可能無限多次通過局部平凡化坐標圖,葉周圍的完整也可能阻礙葉的全局一致定義函數的存在。例如,雖然3-球面有一個由里布發現的余維1-葉狀結構,但閉流形的余維-1葉狀結構不能由光滑函數的水平集給出,因為閉流形上的光滑函數必然在最值點有臨界點。

葉狀結構好比是一種給流形穿的條紋織物的衣服。在流形的每個足夠小的片上,這些條紋給了流形一個局部乘積結構,不需在局部區域之外一致(不用有良定義的整體結構):沿着一個條紋走足夠遠,可能回到不同的鄰近的條紋。

葉狀圖與圖冊

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為給葉狀結構下精確定義,需先定義一些輔助元素。

3維葉狀圖(foliated chart),n = 3、q = 1。斑(plaque)是2維的,橫截(transversal)是1維的。

中的鄰域是形式為子集,其中是第i個坐標軸上(可能無界)的相對開區間。若具有形式,則稱B具有邊界[6]

在下面的定義中,坐標圖(coordinate chart)被認為是在,允許流形具有邊界和()角的可能。

n-流形M上余維為q的葉狀圖(foliated chart)是,其中是開集,微分同胚中的矩鄰域,中的矩鄰域。集合,其中稱作這葉狀圖的斑(plaque)。,集合稱作葉狀圖的橫截(transversal)。集合稱作U的切邊界(tangential boundary),稱作U的橫截邊界(transverse boundary)。[7]

葉狀圖是所有葉狀結構的基本模型,斑就是葉。表示「B-切」,表示「B-截」。還有多種可能。若都有空邊界,則葉狀圖就建模了無界n-流形的余維-q葉狀結構。若其中一個矩鄰域有界,則葉狀圖建模了有界無角n-流形的葉狀結構的各種可能性。具體來說,若,則是斑之並,斑表示的葉狀結構切於邊界。若,則是橫截之並,葉狀結構橫截於邊界。最後,若,則建模了葉狀流形(foliated manifold),角分開了切邊界與橫截邊界。[7]

(a) 與邊界相切的葉狀結構; (b) 與邊界相截的葉狀結構; (c) 角將切邊界與橫截邊界隔開的葉狀結構

n-流形M上余維為q葉狀圖冊(foliated atlas)是余維為q的葉狀圖的-圖冊,只要PQ的不同圖中都是斑,PQPQ中都是開的,它們就是相干葉狀結構(coherently foliated)。[8]

重新表述相干葉狀圖的有效方法是將寫作:[9]

常寫作,其中[9]

上,坐標公式可改寫為[9]

的每個斑都會遇到的2個斑。

是相干葉狀結構這一條件意味着,若是斑,則的連通分量位於的(可能不同的)斑中。等價地,由於的斑分別是橫坐標的水平集,都有鄰域,其中公式

無關。[9]

葉狀圖冊的主要用處是將重疊的斑連接起來,形成葉狀結構;上述一般定義顯得有點笨拙,一個問題是,的斑可以與多個的斑相遇。甚至可能出現,一個圖的斑與另一圖的無窮多個斑相遇。不過,如下所示,假設情形更規則,也不失一般性。

是葉狀圖冊,則M上兩具有相同餘維和光滑度的類葉狀圖冊是相干的:。葉狀圖冊的相干是等價關係。[9]

規則葉狀圖冊中的圖。

上面定義的開集上的斑與橫截也是開的。不過,我們也可以談論閉的斑與橫截:若都是葉狀圖,使得U閉包)是W的子集,;則,若可知,寫作,將微分同胚地帶到

符合以下條件的葉狀圖冊稱作規則的(regular):

  1. 是葉狀圖的緊子集,且
  2. 覆蓋是局部有限的;
  3. 都是葉狀圖冊的元素,則每個閉斑的內部與最多與中的1個斑相遇。[11]

根據性質 (1),坐標延伸到上的坐標,可以寫成性質 (3)等價於要求:若,橫坐標變化獨立於

有公式[11]

類似論斷也適於開圖(無覆蓋線)。橫坐標映射可視作浸沒

公式可視作微分同胚

它們滿足上循環條件,即,在上,

尤其是,[12]

用上述關於相干性和規則性的定義,可證明每個葉狀圖冊都有規則的相干細化[13]

葉狀結構的定義

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根據實現葉狀結構的方式,有幾種不同的定義。最常見方式是通過流形分解,得到

通過坐標函數分解

定義 n維流形Mp-維類葉狀結構是將M分解為不交連通子流形的並,稱作葉狀結構的葉(leaf),具有如下性質:M的點都有鄰域U和局部類坐標系,使得對每片葉的組分都由方程組描述。則,葉狀結構記作[5]

葉的概念可以讓我們直觀地思考葉狀結構。若用稍微幾何化的定義,n維流形Mp維葉狀結構也許可簡單視作M的逐對不交、連通浸沒的p維子流形(葉狀結構的葉)的集合,使得對點,都有圖,其中U同胚於,包含的x使得對每片葉,與U相遇或為空集或為子空間的可數集,其在的像下是前n-p個坐標為常數的p仿射子空間

葉狀結構局部上都是浸沒,允許下列定義

定義MQn維流形,qn,並令是浸沒,即假設函數微分矩陣(雅可比矩陣)的秩為q,則據隱函數定理ƒM上誘導了余維為q的葉狀結構,其中的葉定義為[5]

這定義描述了n維流形Mp維葉狀結構,是由(chart)與下列映射覆蓋的:

這樣,對重疊對轉移函數定義為

形式為

其中x表示前個坐標,y表示後p個坐標(co-ordinates),即

將轉移函數拆分為,作為浸沒的一部分完全類似於將拆分為,作為規則葉狀圖冊定義的一部分。這使得可以用規則葉狀圖冊定義葉狀結構成為可能。為此,必須首先證明,余維度為q的規則葉狀圖冊都與唯一的余維度為q的葉狀結構相關聯。[13]

正如證明所示,葉狀結構的葉是長度 ≤ p的斑鏈的等價類,也是拓撲浸入豪斯多夫p子流形。接着,我們將證明葉上斑的等價關係可用相干葉狀圖冊的等價來表示,即它們與葉狀結構的聯繫。更具體地說,若M上的葉狀圖冊、且若與葉狀結構相關聯,則若且唯若也與相關聯時,相干。[10]

現在很明顯,M上的葉狀結構與葉狀圖冊間的關聯關係產生了M的葉狀結構集同葉狀圖冊的相干類集之間的一一對應,換句話說,M上余維為q類葉狀結構是余維為q類葉狀圖冊的相干類。[14]佐恩引理,葉狀圖冊相干類顯然包含唯一的最大葉狀圖冊。於是,

定義 M上余維為q類葉狀結構是M上余維為q的最大葉狀-圖冊。[14]

實踐中,通常用較小的葉狀圖冊表示葉狀結構,通常還要求是規則的。

在圖中,條紋與別的圖上的條相匹配。這些子流形在圖之間拼接成最大連通單射浸入子流形,就是葉狀結構的(leaf)。 若縮小圖,可以寫成,其中與斑同構,的點參數化了中的斑。若擇,則的子流形,與每個斑恰交一次,這叫做葉狀結構的局部橫截。注意,由於單值性的原因,全局橫截面可能不存在。

r = 0的情形比較特殊。實踐中出現的葉狀結構通常是「光滑葉」。更確切地說,是以下意義的類:

定義 若葉狀圖冊的相應相干類包含規則葉狀圖冊,使得坐標變換式

屬於類,但在坐標中是類,其階數≤ r、與的混合偏導數在坐標中是類,則稱葉狀結構屬於類。[14]

上述定義是所謂「葉狀空間」的更一般概念。我們可以放寬橫截的條件為的相對緊開子集,允許橫坐標在更一般的拓撲空間Z中取值。斑仍是的相對緊開子集,橫坐標公式的變化是連續的,在坐標中屬於類,其階數 ≤ r 、與的混合偏導數在坐標中連續。一般要求MZ為局部緊可測第二可數空間。這似乎是很狂野的推廣,但在一些情形下很有用。[15]

完整性

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是葉狀流形(foliated manifold)。設L的葉,sL中的路徑,我們感興趣的是Ms的鄰域中葉狀結構的行為。直觀地說,在葉上可以沿路徑s行走,同時關注附近所有葉。在他(以下寫作s(t))行走時,一些葉可能會「掉落」、變得不可見;另一些可能會突然進入可視範圍,漸漸接近L;還有些可能會以接近平行的方式跟隨L,或垂直地打轉之類。若s是環路,則隨着t增大,s(t)會反覆回到同一個點s(t0),每次都會有更多葉螺旋狀地進入或離開視野。這種行為經過適當的形式化,叫做葉狀結構的完整性(holonomy)。

完整性在葉狀流形上有多種具體實現方式:葉狀叢(foliated bundle)的總完整群、一般葉狀流形的完整偽群、一般葉狀流形的虧格完整廣群、葉的虧格完整群、葉的無窮小完整群。

葉狀叢

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最容易理解的完整性是葉狀叢的總完整性,這是龐加萊映射概念的推廣。

橫截面(cross section)N與第一回歸映射(first return map)f,其中

「第一回歸映射」來自動力系統理論。令是緊n-流形上的非奇異流。應用中,可以想像M是個回旋加速器或流體的閉合迴路。若M有界,則假定流與界相切。流生成了1維葉狀結構。若知道流的正方向,但不知道其他參數(軌跡形狀、速度等),則稱底葉狀結構(underlying foliation)有向。假設流有全局橫截面N,即NM的n-1維緊正合嵌入的子流形,葉狀結構垂直於N,每條流線都與N相遇。由於N的維度與葉的維度是互補的,橫截性條件是

,考慮M中所有序列的所有堆積點的ω-極限集合ω(y),其中為無窮大。可以證明,ω(y)是緊非空的,是流線的並。若則有值使得,由此可得

由於N是緊的,橫截於N,因此集合是單調遞增序列,並發散。

變化,令,這樣定義一個正函數(第一回歸時間),使得

定義這是映射。若流反向,則完全相同的構造會得到逆的;所以。這個微分同胚是第一回歸映射,τ稱作第一回歸時間。雖然第一回歸時間取決於流的參數化,但f顯然只取決於有向葉狀結構。可以將流重參數化,使其保持非奇異、是類,且方向不翻轉,從而使

流有橫截面N的假設是很受限的,意味着M上纖維叢的總空間。事實上在上,可將定義為以下條件生成的等價關係:

等價地,這是加法群Z上的作用的軌等價,定義如下

f的映射圓柱定義為流形

由第一回歸映射f的定義與第一回歸時間的假設,可立即得出映射

流的定義可誘導一個規範微分同胚

若記,則R的投影誘導了映射

使M變為圓上纖維叢的總空間。這只是的投影。葉狀結構橫截於這叢的纖維,限制到每片葉L的叢投影π是覆蓋映射,這就是葉狀叢(foliated bundle)。

的等價類為基點,就是原橫截面N。對上以為基點的每個環路s,同倫類的唯一特徵是。環路s提升到每條流線中的一條路徑,很明顯提升始於、終於。微分同胚也用表示,稱作環路s的總整體性。由於只取決於[s],因此定義了同胚

稱作葉狀叢的總整體同胚。

更直觀地運用纖維叢,令是余維為q的葉狀n-流形,令是纖維叢,具有q維纖維F與連通基空間B。假設所有這些結構都屬於類,若r = 0,B支持一個結構。由於B上的最大圖冊都包含子圖冊,因此假設B如所期望那般光滑並不失一般性。最後,,假設x有連通開鄰域,和局部平凡化

其中φ微分同胚(若r = 0則是同胚),將帶到積葉狀結構。其中,是葉為的連通組分的葉狀結構,L的葉。這是類「葉狀叢」(foliated bundle)的一般定義。

垂直於π的纖維(可以說是垂直於纖維的),π到的每片葉L的限制是覆蓋映射。特別是,每條纖維都與的每片葉相遇。纖維是的橫截,與流的橫截完全類似。

葉狀結構橫截於纖維不能保證葉是B的覆蓋空間。這個問題的一個簡單版本是的一個葉狀結構橫截於纖維

但有無限多葉缺失了y軸。在相應的圖像中,「有箭頭的」葉以及它們上面所有的葉都漸進於x = 0軸。一般稱這種葉狀結構為相對於纖維是不完備的,即當參數接近某個,一些葉「奔向無窮大」。更確切地說,可能有葉L,和一條連續路徑使得,但L的流形拓撲中不存在。這類似於不完備流,某些流線會在有限時間內發散。雖然這樣的葉L可能在別處與相遇,但不能均勻覆蓋的鄰域,因此不可能是B在π下的的覆蓋空間。F是緊的時,對纖維的橫截性確實保證了完備性,於是是葉狀叢。

B上有圖冊,包含開連通坐標圖,以及平凡化,將帶到積葉狀結構。置,並記,其中(濫用符號)表示是將與規範投影組合而得的浸沒。

圖冊的作用類似葉狀圖冊。的斑是的水平集,這一族斑通過,與F相同。由於預設了B支持某個結構,據懷特黑德定理,可在B上固定一個黎曼度量,擇圖冊為測地凸的。於是,總是連通的。若這個交非空,則的每個斑都正好與的一個斑相遇。然後,通過設下式,可定義一個完整上循環(holonomy cocycle) by setting

例子

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平坦空間

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考慮n維空間,是由前n-p個坐標為常數的點組成的子空間之積。這可以用一張圖(chart)表示,其基本原理是,葉或斑枚舉。置n = 3、p = 2,可以類比三維空間:書的2維葉由(1維)頁碼枚舉。

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較平凡的葉狀結構例子是積,葉M的另一個葉狀結構由給出)。

對流形F而言,的平坦G-叢是更一般的一類。給定表示,具有單值ρ的平坦-叢由給出,其中通過甲板變換作用於萬有覆蓋,通過表示ρ作用於F

平坦叢符合纖維叢的框架。若有流形F使得,都有開鄰域U使得有同胚(其中p1是到第一個因子的投影),則流形之間的映射是纖維叢。纖維叢產生了由纖維組成的葉狀結構,其葉空間LB同構,前者是豪斯多夫流形。

覆蓋

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是流形間的覆蓋映射,FN上的葉狀結構,則其拉回到M上的葉狀結構。更一般地,若映射只是分歧覆蓋(分歧軌跡橫截於葉狀結構),則葉狀結構就可以被拉回。

浸沒

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是流形的浸沒,則據反函數定理,浸沒的纖維的連通組分定義了M的余維為q的葉狀結構。纖維叢是這種類型的一個例子。

不是纖維叢的浸沒的一個例子是

這種浸沒產生了的葉狀結構,在下列作用下是不變的:

其中的誘導葉狀結構稱作(環空的)2維里布葉狀結構,或(莫比烏斯帶的)2維無向里布葉狀結構。它們的葉空間都不是豪斯多夫的。

里布葉狀結構

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定義一個潛沒

其中n維圓盤上的圓柱坐標。這浸沒產生了的葉狀結構,在如下Z作用下是不變的:

的誘導葉狀結構被稱作n里布葉狀結構,其葉空間不是豪斯多夫的。

對於n = 2,這給出了實心環面的葉狀結構,可由沿邊界粘合兩個實心環面,來定義3-球的里布葉狀結構。奇數維球的葉狀結構也是明確已知的。[16]

李群

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G李群H是李子群,則G就會被H陪集葉化。若HG閉合,則商空間是光滑(豪斯多夫)流形,將G轉化為纖維叢,纖維H、基為。這個纖維叢實際上是的,具有結構群H

李群作用

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G是光滑作用於流形M的李群。若作用是局部自由作用或自由作用,則G的軌道定義了M的一個葉狀結構。

線性葉狀結構與克羅內克葉狀結構

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是非奇異(即無處為零)的向量場,則定義的局部流拼湊在一起,就定義了維度為1的葉狀結構。事實上,給定任一點,由於是非奇異的,所以可找到一個關於x的坐標鄰域,使得

從幾何角度來看,的流線就是水平集

其中所有的由慣例,流形是第二可數的,因此類似「長線」這樣的葉異常現象會被M本身的第二可數性排除。要求是完全域(例如M是緊的),從而要求每片葉都是流線,就可以避開這個難題。

上的線性葉狀結構傳遞到上的葉狀結構。 a) 斜率是有理的(線性葉狀結構); b) 斜率是無理的(克羅內克葉狀結構)。
2-環面上的無理旋轉

環面上的一類重要1維葉狀結構來自投影於其上的恆向量場。上的恆向量場

中所有平移都不變,因此當投影到環面時傳遞到良定義向量場X。假定a ≠ 0。產生的上的葉狀結構的葉具有斜率為的平行線,這葉狀結構在平移下也是不變的,並傳遞到X產生的上的葉狀結構

每片葉的形式是

若斜率是有理的,則所有葉都是與同胚的閉合曲線。這時,可取。對固定的中與的值對應的點都投影到的同一點,於是對應的葉L中的嵌入圓。由於L是任意的,所以對圓的葉狀結構。由此很容易得出,這個葉狀結構實際上就是纖維叢,這就是所謂線性葉狀結構。

若斜率是無理的,則葉是非緊的,同胚於非緊實線,在環面中稠密(參無理旋轉)。每個點的軌跡永遠不會回到同一點,而是在環面上產生「處處稠密」的環繞,會任意接近任何給定的點。於是,軌跡的閉包是整個2維環面。這種情形稱作克羅內克葉狀結構,得名於利奧波德·克羅內克

克羅內克稠密性定理 若實數θ不等於π的所有有理倍數,則集合在單位圓內稠密。

用平行線對進行葉狀結構的類似構造,可得與環面上的線性流相關的n-環面的1維葉狀結構。

緯懸葉狀結構

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平坦叢不僅有對纖維的線性結構,還有橫截於纖維的葉狀結構,其葉為

其中是規範投影。這個葉狀結構稱作表示的緯懸。

具體地說,若F的同胚,則的緯懸葉狀結構定義為表示的緯懸葉狀結構,由給出。其葉空間是,其中只要對某個

緯懸葉狀結構最簡單的例子是q維流形X。令是雙射。將緯懸定義為對等價關係的商。

則,M自動攜帶兩個葉狀結構:包含形式的集合;包含形式的集合,其中軌道定義為

其中指數指的是函數f與自身複合的次數。注意,對也同樣。理解葉狀結構等效於理解映射f的動力學。若流形X已經葉化,則只要f是葉間映射,就可以利用這構造增加葉狀結構的余維數。

2-環面的克羅內克葉狀結構是旋轉(角度為)的緯懸葉狀結構。

切割重粘後,2-洞環面的緯懸。 a) 帶待切割截面的雙洞環面; b) 切割後帶有4個面的幾何圖形。

更具體地說,若是2洞環面,是兩個嵌入圓,則是葉的3-流形的積葉狀結構。注意是嵌入環,橫截於。令表示的保向微分同胚群,並擇。將M沿切開,表示它們的副本。這時,流形有4個邊界分量葉狀結構橫截邊界的葉狀結構,葉的形式為

這片葉在4個圓中與相遇。若,則中的對應點記作通過下列標識,「回到」

由於的保向微分同胚,因此與恆同(identity)同痕,由這操作得到的流形同胚於M的葉則重新組合,產生M新的葉狀結構。若的葉L 包含一片,則

其中是由生成的子群。這些Σ'的副本通過標識彼此相連:

其中gG上取值。葉完全由G-軌道決定,可以很簡單也可以很複雜。例如若相應的G-軌道有限,則葉就是緊的。舉個極端的例子,若G是平凡的,則。若軌道在中是稠密的,則對應的葉在M中也稠密。例如,若是2π的有理獨立倍的旋轉,則每片葉都是稠密的。其他例子中,某些葉L的閉包與每個因子康托爾集中相遇。在上也可做類似構造,其中I是緊非退化區間。這裏,取,由於通過所有保向微分同胚逐點固定了,所以可得一個以的兩分量為葉的葉狀結構。若在這情形下形成M' ,就會得到有角葉狀流形。無論哪種情形,這種構造都被稱作微分同胚對的緯懸,提供了余維為1的葉狀結構的有趣例子。

葉狀結構與可積性

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假設一切都光滑,那麼向量場之間有一種密切關係:給定M上不為零的向量場X,其積分曲線將給出1維葉狀結構(即余維為n-1的葉狀結構)。

這觀察可推廣為弗羅貝尼烏斯定理,即分佈(流形切叢np子叢)與葉狀結構的葉相切的充分必要條件是,與分佈相切的向量場集對李括號閉合。這也可以解釋為,將切叢的結構群從約化為可約群。

弗羅貝尼烏斯定理中的條件作為可積條件出現,並斷言若滿足條件,就能約化,因為具有所需塊結構的局部轉移函數存在。例如,對某(非規範)(即非零餘向量場),余維為1時可定義葉狀結構的切叢為。若處處都有,則給定的α可積。

由於存在拓撲約束,因此存在全局葉狀結構理論。例如,曲面情形中,處處非零向量場只能存在於環面有向曲面上。這是龐加萊-霍普夫定理的結果,指出歐拉示性數需為0。其與切觸幾何有很多深層聯繫,專門研究不可積情形。

葉狀結構的存在

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Haefliger (1970)給出連通非緊流形上的分佈與可積分佈同倫的充分必要條件。Thurston (1974, 1976證明,任意有分佈的緊流形都有同維度的葉狀結構。

參看

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腳註

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  1. ^ Candel & Conlon 2000,第5頁
  2. ^ Anosov 2001
  3. ^ Gourgoulhon 2012,第56頁
  4. ^ Reeb, G. Remarques sur les structures feuilletées (PDF). Bull. Soc. Math. France. 1959, 87: 445–450 [2024-01-05]. Zbl 0122.41603. doi:10.24033/bsmf.1539可免費查閱. (原始內容存檔 (PDF)於2024-01-05). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Lawson 1974
  6. ^ Candel & Conlon 2000,第19頁
  7. ^ 7.0 7.1 Candel & Conlon 2000,第20頁
  8. ^ Candel & Conlon 2000,第23頁
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  10. ^ 10.0 10.1 10.2 Candel & Conlon 2000,第26頁
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  12. ^ Candel & Conlon 2000,第28頁
  13. ^ 13.0 13.1 13.2 13.3 Candel & Conlon 2000,第29頁
  14. ^ 14.0 14.1 14.2 Candel & Conlon 2000,第31頁
  15. ^ Candel & Conlon 2000,第32頁
  16. ^ Durfee, A.H. Foliations of Odd-Dimensional Spheres. Annals of Mathematics. Second Series. 1972, 96 (2): 407–411. JSTOR 1970795. doi:10.2307/1970795. 

參考文獻

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外部連結

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