雙模

在抽象代數中，一個雙模（bimodule）是一個既為左模也為右模的阿貝爾群，且左右乘法相容。除了自然出現於許多數學領域，雙模也扮演着澄清的角色，許多左模與右模之間的關係當將其用雙模來表示時變得簡單。

定義

如果 R 和 S 是兩個環，則一個 R-S-雙模是一個阿貝爾群 M 使得：

1. M 是一個左 R-模和一個右 S-模；
2. 對所有 r 屬於 R，s 屬於 S 以及 m 屬於 M：

(rm)s = r(ms).

一個 R-R-雙模也稱為 R-雙模。

例子

• 對正整數 n 與 m，n × m 實數矩陣集合 M_n,m(R) 是一個 R-S 雙模，這裏 R 是 n × n 矩陣環 M_n(R)，而 S 是 m × m 矩陣環 M_m(R)。加法與乘法是通常的矩陣加法與矩陣乘法；矩陣的高度與寬度已選定故可以定義乘法。注意到 M_n,m(R) 自己不是一個環（除非 n = m）因為兩個 n × m 矩陣相乘沒有定義。雙模的關鍵性質 (r x)s = r(x s)，即矩陣乘法服從結合律的陳述。
• 如果 R 是一個環，則 R 自身是一個 R-雙模，同樣 Rⁿ（R 的 n-重直積）。
• 環 R 的任何雙邊理想是一個 R-雙模。
• 交換環 R 上任何模自然是一個雙模。例如若 M 是一個左模，我們可以定義在右邊的乘法與在左邊的乘法一樣（但不是所有 R-雙模都是這樣的）。
• 如果 M 是一個左 R-模，則 M 是一個 R-Z 雙模，這裏 Z 是整數環。類似地，右 R-模可理解為 Z-R 雙模，事實上一個阿貝爾群可以視為一個 Z-Z 雙模。
• 如果 R 是 S 的一個子環，則 S 是一個 R-雙模。它也是一個 R-S 和 S-R 雙模。

其他概念與事實

如果 M 與 N 是 R-S 雙模，則一個映射 f : M → N 是一個雙模同態如果它既是左 R-模同態也是右 S-模同態。

一個 R-S 雙模事實上與環 $R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op}$ 上一個左模是一回事，這裏 S^op 是 S 的反環（將乘法給變順序）。雙模同態與左 $R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op}$ 模同態一樣。利用這些事實，許多關於模的定義與陳述可立即翻譯為雙模的定義與陳述。例如，所有 R-S 雙模之範疇是阿貝爾的，標準同構定理對雙模也成立。

但是在雙模的世界中仍有某些新結果，特別是張量積：如果 M 是一個 R-S 雙模而 N 是一個 S-T 雙模，則 M 與 N 的張量積（在環 S上取）自然是一個 R-T 雙模。這個雙模的這個張量積是結合（相差惟一一個典範同構），從而我們可以構造一個範疇，其對象是環而態射是雙模。進一步，如果 M 是一個 R-S 雙模而 L 是一個 T-S 雙模，則集合 Hom_S(M,L) of 所有從 M 到 L S-模同態成為一個自然的 T-R 雙模。這些論述推廣為導出函子 Ext 與 Tor。

副函子可以視為雙模的一個範疇推廣。

注意雙模的概念與雙代數完全無關。

相關條目

• 副函子

參考文獻

• p133–136, Jacobson, N. Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company. 1989. ISBN 0-7167-1933-9.