函數演算

在數學中，函數演算（functional calculus）是一種使得函數得以能作用於算子的理論。它現在是泛函分析領域的一個分支（更準確地說，是幾個相關領域），並與譜理論相關。

為使得函數作用於算子的需要得到滿足，須對於給定的算子和函數定義一個新的算子。例如對於給定的向量空間 $X$ 上的算子 $T\in L(X)$ ，以及某一族尋常函數 $F$ （如實數上的多項式函數所構成的集合），尋找這樣一個映射 $Z_{T}:F\to L(X)$ 使得 $Z_{T}(f)\triangleq f(T)$ ，注意這裏重載了符號 $f$ 的含義從而使得 $f(T)$ 這樣的表達式變得有意義。另外，通常會希望它滿足一定的要求，如：

$Z_{T}$ 是一個有單位元的代數之間的同態（英語：Algebra homomorphism#Unital algebra homomorphisms）
對於尋常的恆等函數 $\mathrm {id} \in F$ 滿足 $Z_{T}(\mathrm {id} )=T$ （這個要求實際上過強，實際的函數演算會用到算子的譜來削弱這個要求）。

這些要求能使得我們關於函數的各種操作能夠對這個新的映射仍然有效（如 $\exp(T)\exp(T)=\exp(T)^{2}$ ），以及確保對於 $X\cong \mathbb {R}$ 時 $T\mapsto f(T)$ 成為一個平凡映射從而回到熟悉的情況。

從歷史上看，該術語也曾用作和變分法同義；然而除了在泛函導數（functional derivative）那邊，這種用法現已廢棄。有些情況下這個術語是和函數方程的種類有關，或者是謂詞演算系統的邏輯中使用。

動機[編輯]

圍繞數域上的尋常函數，已發展有許多方法和結論。而在處理算子時會發生類似於這些領域的情況，從而對於一個函數 $f$ 和算子 $T$ ，可能希望定義一個滿足一些性質的映射來給出 $f(T)$ 。

一個例子是，如研究李群和它的李代數的關係時，我們會遇到類似於微分方程 $f'(x)=f(x)$ 的情況，從而引入指數映射的概念，而這對於矩陣李群而言就是矩陣指數，後者定義為

$\exp(T)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k!}},$

具有和通常的指數函數完全相同的級數形式——儘管級數的嚴格定義、分析性質等問題還需專門考慮。那麼，提前研究這種級數定義所給出函數演算的性質，將是一件有意義的事情。（實際上使用的函數演算會比這種級數定義更有力，參見為何需要更一般的函數演算。）

更簡單的一類函數演算是將方陣的多項式函數演算，方陣的有限次冪以及和在其矩陣代數中就已定義。在有限維情況下，多項式函數演算已能得到大量有關算子的信息。

例如，考慮這樣一族多項式，其中的多項式作用於算子 $T$ 會得到零算子。這族多項式是多項式環中的理想。而這是一個不平凡的理想：設這個有限維矩陣代數的維數為 $n$ ，那麼 $\{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}$ 將是線性相關的，從而存在一系列一些不全為零的純量 $\alpha _{i}$ 使得 $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0$ 。這意味着多項式 $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}$ 也在這個理想中。由於多項式環是一個主理想整環，因此該理想是由某個多項式 $m$ 生成的。通過乘上一個係數，我們可以選擇 $m$ 為首一多項式，這時 $m$ 恰好是 $T$ 的最小多項式。這個多項式蘊含了 $T$ 的一些很深刻的信息。例如，一個純量 $\alpha$ 是 $T$ 的一個本徵值若且唯若 $\alpha$ 是 $m$ 的一個根。另外， $m$ 有時也可以用來高效地計算 $T$ 的矩陣指數。