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伴隨叢

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數學中,伴隨叢adjoint bundle)是一個自然相配於任何主叢向量叢。伴隨叢的纖維帶有李代數結構使得伴隨叢成為一個代數叢。伴隨叢在聯絡理論以及規範理論中都有重要的應用。

形式定義

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G 是一個李群李代數,並設 P光滑流形 M 上一個G。令

G伴隨表示P伴隨叢配叢

伴隨叢通常也記做 。具體地,伴隨叢的元素是二元組 [p,x] 的等價類,其中 pPx 使得

對所有 gG。因為伴隨叢的結構群由李代數的自同構組成,纖維自然帶有一個李代數結構使得伴隨叢成為 M 上一個李代數叢。

性質

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M 上取值於 AdP微分形式一一對應於 P水平 G-等變李代數值形式。一個基本例子是 P 上任何聯絡曲率可以視為 M 上取值於 ADP 的 2-形式。

伴隨叢截面的空間自然是一個(無窮維)李代數。它可以視為 P規範變換無窮維李群的李代數,它能想像為叢 P ×Ψ G 的截面,這裏 Ψ 是 G 在自身上的共軛作用