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Sinc函數

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在同一尺度上的歸一化 sinc 函數(藍色)與非歸一化 sinc 函數(紅色)
將 sinc 函數作為音頻播放(2000 Hz)

sinc函數(英語:sinc function)是一種函數,在不同的領域它有不同的定義。數學家們用符號 表示這種函數。 sinc函數可以被定義為歸一化的或者非歸一化的,不過兩種函數都是正弦函數單調的遞減函數 1/x的乘積:

  1. 數位訊號處理通信理論中,人們把歸一化sinc函數定義為
    對於所有x ≠ 0
  2. 數學領域中,人們以前使用的非歸一化sinc函數 (for sinus cardinalis)被定義為
    對於所有x ≠ 0

在這兩種情況下,當x=0時sinc函數的值被定義為以下的極限值,因此 sinc 函數是處處可解析的。

對於任何實數 a ≠ 0

非歸一化sinc函數等同於歸一化sinc函數,只是它的變量中沒有放大係數 π 。

屬性

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Re Sinc complex plot
Im Sinc complex plot
Abs Sinc complex plot

歸一化 sinc 函數的特性使得它在插值與帶限函數中得到理想應用:

  • 對於 整數),;也就是說,它是一個插值函數
  • 函數 函數空間 形成一個帶限函數的正交基,它的最大角頻率是 ,也就是說最大的循環頻率是

這兩個 sinc 函數的其它特性包括:

  • 非歸一化 sinc 函數 ;對應於它與餘弦函數的交點。也就是說,如果 的導數是 0 ,即在 有極值,那麼
  • 非歸一化 sinc 是第一類零階球貝塞爾函數。歸一化 sinc 是
  • 非歸一化 sinc 的過零點是 的非零倍數;歸一化 sinc 函數    的過零點出現在非零整數。
  • 歸一化 sinc 函數    的對於普通頻率的連續傅里葉變換是  
,
其中矩形函數在 –1/2 到 1/2 之間值為 1,在其它區域值為 0。
  • 積分
廣義積分。因為:

所以它不是勒貝格積分

其中 Γ函數

與狄拉克δ分布的關係

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儘管不是分布,歸一化 sinc 函數也可以作為 nascent δ函數(參見狄拉克δ函數)使用。

歸一化 sinc 函數通過下式與δ分布 δ(x) 發生聯繫

由於等式左側並不收斂,所以這不是普通的 limit,而是說明對於任意的緊支撐平滑函數

在上面的表達式中,隨着 a 趨近於 0,sinc 函數每個單元長度上的振動次數趨近於無限,然而不管 a 是什麼值,這個表示通常在 ±1/(πx) 內振動。這與 δ(x) 的非正式表示有所矛盾,δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0,這表明了將δ函數作為函數而不是分布帶來的問題。在吉布斯現象(Gibbs phenomenon)中也有類似的狀況。

參見

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參考文獻

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外部連結

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