跳至內容

馬呂斯定理

本頁使用了標題或全文手工轉換
維基百科,自由的百科全書
馬呂斯

馬呂斯定理是法國物理學家艾蒂安-路易·馬呂斯在1808年闡述的一條幾何光學的定理。

在均勻介質中的光線束,如果有一個共點,例如從同一個點光源發射,這樣的光束稱為同心光束。同心光束有正交一致性,即光束中所有的一切光線,都和以同源點為中心的一切球面正交[1]。根據光在均勻介質中傳播的性質,這些球面無非是光波動光前,光線自然和波前正交[2]

馬呂斯定理:「正交一致性光束,經過無論多少次的反射和折射,始終保持正交一致」[1]

馬呂斯定理的證明

[編輯]
馬呂斯定理的證明

1889年瑞利男爵在《大英百科全書》第九版《光學》條中,給出根據費馬原理的證明[2]

設同源光束[MABCP]與[M'A'B'C'P']與曲面m分別在M,M'點正交;這兩道光線在傳播過程中經過多次反射或折射,分別與界面a相交於A,A'點;與界面b相交於B,B'點,與界面c 相交於C,C'點;經過若干反射、折射後分別到達P,P'點;令光線[MABCP]、[M'A'B'C'P'] 的光程相等;則所有等光程的P,P'的集合,形成一個曲面p。可證明光線[MABCP]與曲面p在P點正交,光線[M'A'B'C'P']與曲面p在P'點正交,即集合p是光束的正交一致性曲面。

證:

作兩條附加直線M'A和P'C。令M與M'無限接近,因M'A與曲面m 垂直,光線[M'ABCP']與光線[M'A'B'C'P']之差是MM'線段的高次微小項

即[M'ABCP']~[M'A'B'C'P']。

之前已經假設了[M'A'B'C'P']=[MABCP],所以代入前式即得

[M'ABCP']~[MABCP];

令第一介質和最後介質的折射率分別為n,n',則消除共同線段之後可得:

由此

在M和M'無限接近時M'A=MA,於是 CP'=CP;即CP,CP'是等腰三角形的兩腰,與PP'夾角相等;當其無限接近時CP,CP'合為一體,垂直於曲面p。

把上面的證明中帶撇號和不帶撇號的符號對調一下,即證得C'P'垂直於p[3]

參考文獻

[編輯]
  1. ^ 1.0 1.1 Max Born and Emil Wolf, p139
  2. ^ 2.0 2.1 Moritz von Rohr, p21
  3. ^ Moritz von Rohr, p22
  • Max Born & Emil Wolf, Principles of Optics 7th edition, Cambridge University Press 1999 ISBN 978-0521642224
  • 莫里茲·馮·羅爾《光學儀器成像的幾何學原理》Moritz von Rohr ed. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments M.M.STATIONARY,LONDON 1920