錐台![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/15/Pentagonal_frustum.svg/110px-Pentagonal_frustum.svg.png) ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Usech_kvadrat_piramid.png/110px-Usech_kvadrat_piramid.png) 例如:五角錐台與四角錐台 |
類別 | 錐台 |
---|
對偶多面體 | 不對稱雙錐體 |
---|
性質 |
---|
面 | ![{\displaystyle {{n}+{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b7be362e6e223e6038b4198112502030c28c6b) |
---|
邊 | ![{\displaystyle {{3}\,{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e13d9f0f7fd2f65c89c576e444ad66cea99e0d) |
---|
頂點 | ![{\displaystyle {{2}\,{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38303541b95f63cf341f60913ec5ea1ddab7e74) |
---|
歐拉特徵數 | F= , E= , V= (χ=2) |
---|
組成與佈局 |
---|
面的種類 | n 個梯形, 2 個n邊形 |
---|
對稱性 |
---|
對稱群 | Cnv, [1,n], (*nn) |
---|
特性 |
---|
凸多面體 |
圖像 |
---|
|
註: 為底面邊數 。 |
|
稜台是幾何學中研究的一類多面體,指一個稜錐被平行於它的底面的一個平面所截後,截面與底面之間的幾何形體。截面也稱為稜台的上底面,原來稜錐的底面稱為下底面。隨着稜錐形狀不同,稜台的稱呼也不相同,依底面多邊形而定,例如底面是正方形的稜台稱為方稜台,底面為三角形的稜台稱為三稜台,底面為五邊形的稜台稱為五稜台等等。稜台是平截頭體的一類,也是更廣義的擬柱體的一種。根據所截的是圓錐還是稜錐,可分為圓台與稜台。
從稜台的定義可以推知,一個以n邊形為底面的稜台,一共有2n個頂點,n+2個面以及3n條邊。稜台的對偶多面體是雙錐。稜台的對稱性取決於原來稜錐。如果原來的稜錐是正稜錐,那麼稜台和正多邊形有相同的對稱結構(同構的對稱群)。
稜台的體積取決於兩底面之間的距離(稜台的高),以及原來稜錐的體積。設
為稜台的高,
和
為稜台的上下底面積,
為稜台的體積。由於稜台是由一個平面截去稜錐的一部分(也就是和原來稜錐相似的一個小稜錐)得到,所以計算體積的時候,可以先算出原來稜錐的體積,再減去和它相似的小稜錐的體積。稜錐被平行於底面的平面所截時,截面的面積與底面面積的比,等於小稜錐和原稜錐的高的比的平方。假設原稜錐的高是
,那麼小稜錐的高是
。也就是說:
所以:
稜台的體積等於原稜錐體積減去小稜錐的體積:
![{\displaystyle V={\frac {S_{d}H}{3}}-{\frac {S_{u}(H-h)}{3}}={\frac {(S_{d}{\sqrt {S_{d}}}-S_{u}{\sqrt {S_{u}}})h}{3({\sqrt {S_{d}}}-{\sqrt {S_{u}}})}}={\frac {h}{3}}\left(S_{d}+S_{u}+{\sqrt {S_{d}}}{\sqrt {S_{u}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7d97af3b83a57ed82507a34b0f8d91abdfec7d)
對於正稜錐,假設它的底面是正n邊形,邊長分別為a和b,高是h,那麼底面積是:
所以它的體積是:
![{\displaystyle V={\frac {n(a^{2}+b^{2}+ab)h}{12}}\cot {\frac {\pi }{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea519daa1da4b51d246b5371ffdc189e9fa8391)
表面積[編輯]
稜台的側面展開圖是由各個梯形側面組成的,展開圖的面積,就是各個側面的面積之和,也就是原稜錐的側面積減去小稜錐的側面積Sc
,其中
是第 i 個側面的面積。
稜台的表面積等於稜台的側面積Sc加上底面積S。假設各個梯形側面的高是hi,底邊的長度是ai和bi,那麼稜錐的側面積:
![{\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})h_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703c824d4ff7d863398acd0fc0d27cc1ccfdf353)
體積公式[編輯]
稜台或圓台的體積是原立體圖形的體積減去被截去部分的體積:
![{\displaystyle V={\frac {h_{2}B_{2}-h_{1}B_{1}}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120a733e4b559686d940dc2f0b18bbcefc714e91)
B1 指一個底面的面積,B2指另一個底面的面積, and h1, h2 指原頂點分別到兩底面的面積。
考慮到
![{\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8d9304e5ea4cf1d18591ef19e44263d3cd88d9)
這個體積也可用平截頭體的高 h = h2−h1 與兩底面面積的希羅平均數表達:
![{\displaystyle V={\frac {h}{3}}(B_{1}+B_{2}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cecbb00acf5d3d31dd93e8ac942235476d521c6)
亞歷山大里亞的希羅 推導出了這個公式並且憑藉它遇到了虛數。[1]
特別地, 圓台的體積是
![{\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{1}R_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d66a308105a6be2d2edaccf5fb0fd7a8f5c5aa)
π 等於 3.14159265...,'R1, R2 是兩底面的半徑。
Pyramidal frustum.
底面為n邊形的稜台的體積是
![{\displaystyle V={\frac {nh}{12}}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{2})\cot {\frac {180}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8900048ef14b73c0e5b8984f17925dafe1c32830)
a1 與 a2 是底面的邊長。
表面積公式[編輯]
對於一個正圓台,[2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Lateral Surface Area}}&=\pi (R_{1}+R_{2})s\\&=\pi (R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628325b3195f4e422275361bf61997ed81ba6cd0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total Surface Area}}&=\pi \left[(R_{1}+R_{2})s+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\\&=\pi \left[(R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8201057855f7fa983fa2497704c9519c068b24)
Lateral Surface Area指側面積,Total Surface Area指總面積,R1 and R2 為底面半徑,s 為平截頭體的斜高。
一個底面為正n邊形的正稜台的表面積是
![{\displaystyle A={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe2ca30c9417908ab3b1e7cacd952dd58ac0283)
a1 與 a2是兩底面的邊長。
- 金字塔:某些金字塔是稜台狀建築,大部分是四稜台;
- 圓台:平行於圓錐底面的平面截圓錐,截面和底面之間的部分;
- 稜錐:多邊形的各個頂點與平面外一點相連得到的幾何體。
- 雙錐台
- 錐體
參考資料[編輯]
- ^ Nahin, Paul. "An Imaginary Tale: The story of the square root of minus one." Princeton University Press. 1998
- ^ Mathwords.com: Frustum. [17 July 2011]. (原始內容存檔於2021-01-26).