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部分等距映射

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數學的分支泛函分析中,部分等距映射希爾伯特空間之間的一種線性映射,它在正交補上的限制是一個等距映射

其核的正交補稱為始子空間,其值域稱為終子空間。本文中,算子 的始、終子空間分別記作

一般定義

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部分等距的概念可以用其他等價的方式定義。設 是希爾伯特空間 的一個閉子集 ,而 上的等距映射,則我們可以定義 的一個擴張 的正交補上的值為。因此,部分等距有時也被定義在閉集上局部定義了的等距映射。

基於*-半群英語Semigroup with involution,可以用更為抽象的方式來定義部分等距(以及投影),該定義與上文的定義是重合的。

有限維情況的特性

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在有限維向量空間中,矩陣 是一個部分等距當且僅當 是到其支撐集投影。相比之下,等距映射的定義是更強的:矩陣 是一個等距映射當且僅當 。換句話說,等距對稱是一種單射的部分等距映射。

通過選擇適當的基,任何有限維的部分等距映射都可以表示為形如 的矩陣,也就是說,其前 列表示了一個等距映射,而所有其他列則都為零。

注意對於任何等距映射 ,其埃爾米特共軛 都是一個部分等距映射,儘管並非每個部分等距映射都具有這種形式。

算子代數

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算子代數中,可用下面的方式[需要更深入解釋]引入始子空間和終子空間:

C*-代數

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對於C*-代數,由於C*-性質,存在等價鏈:

因此可由上式中的任意一條來定義部分等距,而到始、終子空間的投影分別為

一對按等價關係劃分[需要更深入解釋]的投影:

它在C*-代數的K-理論馮諾依曼代數中的Murray-馮諾依曼投影理論中發揮着重要作用。

幾類重要的部分等距映射

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投影算子

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任何正交投影算子都是始、終子空間為同一子空間的部分等距:

嵌入映射

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任何等距嵌入映射都是始子空間為全空間的部分等距:

幺正算子

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任何幺正算子都是始、終子空間為全空間的部分等距:

例子

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冪零矩陣

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在二維復希爾伯特空間上的矩陣

是一個部分等距,其始子空間為

而終子空間為

一般有限維示例

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有限維中的其他可能例子有這顯然不是等距映射,因為列之間不正交。然而,它的支撐集是 線性生成空間,若將 限制在這個空間上,就得到一個等距映射(特別地,也是一個幺正算子)。類似地,可以驗證 ,也就是說 是到其支撐集上的投影。部分等距不一定對應於方陣。例如,該矩陣的支撐集由 張成,並在該子空間上成為一等距映射(特別地,是其上的恆等映射)。

還有一個例子這次 在其支撐集上表現為一個非平凡的等距映射。

容易驗證 以及 ,這表明了 在其支撐集 與其值域 間的等距性質。

左平移和右平移

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平方可和序列空間上的左平移和右平移算子

有下列關係

而左平移和右平移算子是部分等距映射,其始子空間由以下向量構成

其終子空間則是:

參考資料

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外部連結

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