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邊界 (拓撲學)

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集合(淺藍色)和它的邊界(深藍色)。

邊界,(英語:boundary),是點集拓樸的概念,拓撲空間 X 的子集 S邊界是從 S 和從 S外部都可以接近的點的集合。更嚴格的說,它是屬於 S閉包但不是 S內點的所有點的集合。S 的邊界的元素叫做 S邊界點(英語:boundary point)。集合 S 的邊界的符號包括 bd(S)、fr(S) 和 ,。某些作者(比如 Willard 在 General Topology 中)使用術語「邊境」(frontier)而不用邊界來試圖避免混淆於代數拓撲學中使用的邊界概念。

S 的邊界的連通單元叫做 S邊界單元

定義

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拓撲空間的子集邊界(記為)有一些常用及等價的定義:

  • 閉包減去內部
  • 的閉包和其補集的閉包的交集:
  • 是所有滿足以下條件的點的集合:的每個鄰域都包含至少一個屬於的點,以及至少一個不屬於的點。這些點稱為邊界點

性質

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  • 集合的邊界是閉集
  • p 是某集合的邊界點,當且僅當所有 p 的鄰域包含至少一個點屬於該集合且至少一個點不屬於該集合。
  • 某集合的邊界等於該集合的閉包和該集合的補集的閉包的交集。
  • 某集合是閉集,當且僅當該集合的邊界在該集合中;某集合是開集,當且僅當該集合與其邊界不相交。
  • 某集合的邊界等於其補集的邊界。
  • 某集合的閉包等於該集合和其邊界的併集。
  • 某集合的邊界為空,當且僅當該集合既是開集也是閉集(也就是閉開集)。

舉例

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  • ,則
  • R3 中,若 Ω=x2+y2 ≤ 1且Z=0,則 ∂Ω = Ω;但在 R2 中,∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}。所以,集合的邊界依賴其背景空間。

引用

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