提示:此條目頁的主題不是
合蚌線。
綠色為直線,黑色為直線外一點,所有紅色線段和藍色線段的長度均相等。紫色和橙色曲線是綠色直線關於黑色點的蚌線,紫色為內支,橙色為外支
極點和原直線不變、跡距不同的一系列蚌線
在平面幾何中,蚌線是一類曲線,可以由一條給定的曲線、一個定點和一個給定的長度來確定。更具體地說,過定點
的動直線與給定曲線
相交,動直線上滿足「與交點距離為定長
」的點的軌跡定出的新曲線,就是原曲線
關於極點
和跡距
的蚌線。[1][2][3]
用解析幾何的方式來表述:平面曲線
的極坐標方程為
,則以
為方程的曲線是
關於原點的蚌線。[4]
「蚌線」也常特指原曲線為直線的蚌線,即尼科美迪斯蚌線。[5]尼科美迪斯是古希臘數學家,他利用這種蚌線來解決古希臘數學三大難題中的兩個——三等分角和倍立方體。[6]
尼科美迪斯蚌線[編輯]
灰色為直線,黑色為蚌線的極點
跡距小於極點與直線的距離,極點與內支分離
跡距等於極點與直線的距離,極點是內支的尖點
跡距大於極點與直線的距離,極點是內支的結點
有定直線
和直線外一固定點
,過點
的動直線與
相交,動直線上滿足「與交點距離為定長」的點的軌跡,就是直線
關於極點
的蚌線
,即尼科美迪斯蚌線。一條尼科美迪斯蚌線有內外兩支,兩支的漸近線都為
。[4][5]
通常記
與點
的距離為
,跡距為
。根據
和
的關係,內支有三種不同形態:[4]
- 當
時,蚌線內支沒有尖點或結點,極點與內支不相交。
- 當
時,蚌線內支有一個尖點,尖點與極點重合。
- 當
時,蚌線內支有一個結點,結點與極點重合。
尼科美迪斯蚌線是軸對稱圖形,對稱軸與
垂直並通過極點
。[3]
歷史和應用[編輯]
尼科米迪斯發明的工具,用來繪製直線蚌線的外支
古希臘數學家尼科美迪斯是最早研究蚌線的人。他發明了繪製直線之蚌線的工具,這是人們第一次用儀器繪製出直線和圓之外的幾何曲線。他關於蚌線的論著已經失傳,只有一部分通過帕普斯的《數學匯編》得以保存下來。帕普斯指出,存在「四種」蚌線,但只記錄了「第一種」蚌線,也就是直線蚌線的外支,用來解決尺規作圖三大難題中的兩個:三等分角和倍立方體。剩下的「三種」蚌線,很可能指的是直線蚌線內支的三種形態。[7][6]
帕普斯將該曲線稱為「螺線」(κοχλοειδὴς γραμμή),這很可能是尼科美迪斯最初的叫法。後來的普羅克洛等人才改稱該曲線為「蚌線」(κογχοειδὴς γραμμή)。[7]
17世紀的大數學家艾薩克·牛頓認為蚌線是僅次於直線和圓的、定義第三簡潔的曲線,並利用蚌線構造出多種三次平面曲線。但及至當代,蚌線變得很少被數學家研究和關注。[8][9]
倍立方體[編輯]
藉助蚌線作出長度為
的線段
作線段
。以點
為圓心、
為半徑作圓,以點
為圓心、
為半徑作圓,交於點
。
過點
作線段
的垂線
。以點
為極點、
為跡距作直線
的蚌線外支。
延長
交蚌線於點
。延長
交圓
於點
。連接
交
於點
。線段
的長度即為
。[7]
尼科美迪斯的幾何證明
|
- 作長方形
, 。
- 延長
,延長 ,交於點 。
- 連接
,交 於點 ,點 是 中點。
- 取
中點 ,連接 。
|
|
![{\displaystyle AD\cdot BD=(MD-MA)\cdot (MD+MB)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f4b6b58b252f165a266ca929d853866880b22a)
![{\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}=MD^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573bc22effe8050916a84ed8d07aded8369bcf84)
![{\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}+MC^{2}=MD^{2}+MC^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632d540fb950b771bf361fdf861fd31b6f9fd136)
![{\displaystyle AD\cdot BD+AC^{2}=CD^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1917c93eb6889ed566fdf300f1977f6eb03fa4e7)
|
![{\displaystyle \triangle KBD\sim \triangle KGH\sim \triangle HAD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6275a51e5295c64153a6ff6bd67d3a1e4cae55be)
![{\displaystyle KG:GH=HA:AD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495154a0f452b56987e71367374170de9e33b1d3)
![{\displaystyle \because GH=GL,\ AH=2AB=AE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9b33153c1fbd0301730634631c7735330938c4)
![{\displaystyle \therefore KG:GL=AE:AD=FC:FD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee829940a731965cb63cbbe20fb7061ad7235657)
![{\displaystyle \because FD=AB=GL}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccc35ad46c78ca9a7bf5c9072dc5f966ce82dd9)
![{\displaystyle \therefore KG=FC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974c95e4944fdf1df189707cc8cf2f3ed2122f0a)
![{\displaystyle KL=KG+GL=FC+FD=CD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12cd131864db4ee8efa8c77261a81b066f83a698)
![{\displaystyle KL^{2}=CD^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120bf6b700169d2f7113a17372a4d11d58efc010)
|
![{\displaystyle KL^{2}=(KL+GL)\cdot (KL-GL)+GL^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f86363822a7fd899fa64e520e939466fedce6f)
![{\displaystyle KL^{2}=KB\cdot KG+GL^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96cc9953056224a5ae13808f95b6ce4136ddf9d8)
![{\displaystyle CD^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a10e00d9b8915f91a594880623e9634310e5fbf)
![{\displaystyle \therefore KB\cdot KG+GL^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4ade4a5d6eecb6a68d9d54bd35e3609482c973)
![{\displaystyle KB\cdot KG=AD\cdot BD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7bbbf80f99e7e23421be7320100179f9c9a9f94)
![{\displaystyle AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5fcb750d92fec0319ce3c1bf37ab940f894659b)
|
![{\displaystyle HA:AD=AD:KG=KG:GH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fddda702a5840240974d0fc2c07a424e9bfb53)
![{\displaystyle HA=2GH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de6d9019351b2535ca097bd04dc50647cc42622)
[7]
|
三等分角[編輯]
藉助蚌線三等分任意銳角
作任意直角三角形
,點
為垂足。以點
為極點、
為跡距作直線
的蚌線外支。
過點
作直線
的垂線,交蚌線於點
。
就是
的三等分線。[7]
解析幾何[編輯]
在極坐標系中,設點
為坐標原點,則直線
和蚌線
的方程可以表示為:[4]
![{\displaystyle l:\ \rho =a{\sec \theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3719e9d26ac82b12e1adaee6a3fb17ac58bb2264)
![{\displaystyle c:\ \rho =a{\sec \theta }\pm b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3520df54c8e484685cf3441b21ed9a791e474518)
![{\displaystyle (-{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2064b7821d697013a6422639d2a6a6232f49674a)
在直角坐標系中,設點
為坐標原點,則直線
和蚌線
的方程可以表示為:[4]
![{\displaystyle l:\ x=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d885f7d786c8a16a3201514bf60606156f4211)
![{\displaystyle c:\ (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})=b^{2}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233ff66682d0c2282ab0b88f3df4a293db01170f)
![{\displaystyle (a,b\in \mathbb {R} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3279b12ea61ee47696478ba2894cfc1a3e0ab8a)
或用參數方程表示為:[4]
![{\displaystyle {\begin{cases}x=a\pm b\cos \theta \\y=a\tan \theta \pm b\sin \theta \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a25168aaebcc72e06e8e63c151149fdbdf5c10)
- (上下正負號同號,
)
尼科美迪斯蚌線是四次平面曲線。[4]
帕斯卡蝸線[編輯]
帕斯卡蝸線是一類外旋輪線,同時也是一類特殊的蚌線,是圓關於圓上一個定點的蚌線。由於極點在原曲線上,所以蚌線的內支和外支光滑相連為一條曲線。當跡距等於圓的直徑時,就是心臟線。[1][2]
作圓
關於圓上一個定點
、跡距等於圓的半徑的蚌線。對於圓上任意一點
,延長
至圓外,與所作蚌線交於點
。根據蚌線的性質,易知
。這條特殊的蚌線被稱為三等分角蝸線。[2]
其他蚌線[編輯]
-
圓對圓外一點的蚌線,跡距大於極點與圓的最大距離。極點與蚌線內支分離
-
圓對圓外一點的蚌線,跡距等於極點與圓的最大距離。極點為蚌線內支的尖點
-
圓對圓外一點的蚌線,跡距小於極點與圓的最大距離,大於極點與圓的最小距離。極點為蚌線內支的結點
-
圓對圓外一點的蚌線,跡距等於極點與圓的最小距離。極點為蚌線內支的尖點
-
圓對圓外一點的蚌線,跡距小於極點與圓的最小距離。極點與蚌線內支分離
參考來源[編輯]