獨立的(H(X),H(Y)), 聯合的(H(X,Y)), 以及一對帶有互信息 I(X; Y) 的相互關聯的子系統 X,Y 的條件熵。
聯合熵是一集變量之間不確定性的衡量手段。
兩個變量
和
的聯合信息熵定義為:
![{\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)=-\sum _{x}\sum _{y}P(x,y)\log _{2}[P(x,y)]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220447cf946a5f6ebec1b070262ac46cbd51f20f)
其中
和
是
和
的特定值, 相應地,
是這些值一起出現的聯合概率, 若
為0,則
定義為0。
對於兩個以上的變量
,該式的一般形式為:
![{\displaystyle \mathrm {H} (X_{1},...,X_{n})=-\sum _{x_{1}}...\sum _{x_{n}}P(x_{1},...,x_{n})\log _{2}[P(x_{1},...,x_{n})]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd53689842055d4ff858acc7bbc5a53a227edbee)
其中
是
的特定值,相應地,
是這些變量同時出現的概率,若
為0,則
被定義為0.
大於每個獨立的熵[編輯]
一集變量的聯合熵大於或等於這集變量中任一個的獨立熵。
![{\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)\geq \max[\mathrm {H} (X),\mathrm {H} (Y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f31fc48a1999ae5e59551e3fec9b91f9932fba1)
![{\displaystyle \mathrm {H} (X_{1},...,X_{n})\geq \max[H(X_{1}),...,H(X_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223015d92c0fe6279c2434caa2bc60fe40a65868)
少於或等於獨立熵的和[編輯]
一集變量的聯合熵少於或等於這集變量的獨立熵之和。這是次可加性的一個例子。該不等式有且只有在
和
均為統計獨立的時候相等。
![{\displaystyle \mathrm {H} (X,Y)\leq \mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe8f152e001507cbf5e7db0788de9dd0d5deca8)
![{\displaystyle \mathrm {H} (X_{1},...,X_{n})\leq \mathrm {H} (X_{1})+...+\mathrm {H} (X_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3665bdd90ddb6a26839c68a4df7a8b9150f1eb)
與其他熵測量手段的關係[編輯]
在條件熵的定義中,使用了聯合熵
![{\displaystyle \mathrm {H} (X|Y)=\mathrm {H} (X,Y)-\mathrm {H} (Y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b475bb29f73a082aefe88584038c66bbd415cc)
互信息的定義中也出現了聯合熵的身影:
![{\displaystyle I(X;Y)=\mathrm {H} (X)+\mathrm {H} (Y)-\mathrm {H} (X,Y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d349496c42c88e4fd578f77858b0e65d2c3a80dc)
在量子信息理論中, 聯合熵被擴展到聯合量子熵。