在 (a, f(a)) 處的切線
在數學中,線性近似就是用線性函數對普通函數進行近似。這個線性函數稱為仿射函數。
例如,有一個實數變量的可導函數 f,根據 n=1 的泰勒公式
![{\displaystyle f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+R_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1be9243d140e6fb25663e38247de0f25fe43f9)
其中
是餘數。捨去餘數就是線性近似:
![{\displaystyle f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41d51584227c9b28f22a57d8a8879a6d225546c)
當 x 無限接近於 a 的時候這個等式成立。右側的表示是 f 在點 (a, f(a)) 處的切線,因此這個過程也叫作切線近似。
我們也可以對以向量作為變量的向量函數作線性近似,這時在該點的導數用雅可比矩陣代替。例如,一個有實數變量的可導函數
,可以用函數
在接近
的
點處的值來近似
![{\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cbbb74d20875c79ff499b4cab985ac1caf08c91)
方程右側是
在點
處的平面切線。
在更具普遍意義的巴拿赫空間上,
![{\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8ba19c0d6fa3736e94c49070586fec2c2bc823)
其中
是函數
在
處的 Fréchet 導數。
可以通過下面的過程求得
的值。
- 設函數
,問題簡化為求
的值。
- 可以得到
![{\displaystyle f\ '(x)=1/3x^{-2/3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ffde9eea81d8a37ed38bce90888af39df1fe35)
- 根據線性近似
![{\displaystyle f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9134ac09cf550fc489a84db67d1df0d77eec9b)
- 結果 2.926 非常接近於實際值 2.924