積分判別法,又稱柯西積分判別法、麥克勞林-柯西判別法,是判斷一個實級數或數列收斂的方法。當
非負遞減時,級數
收歛當且僅當積分
有限。在17、18世紀,馬克勞林和奧古斯丁·路易·柯西發展了這個方法。
考慮如下積分
![{\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac08027ecb7683e87ab347d0ed4a5fb4a4638049)
注意
單調遞減,因此有:
![{\displaystyle f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cacc8c00d92f51c007143c8f75f740cde2cc6a1)
進一步地,考慮如下求和:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}f(n+1)\leq \sum _{n=1}^{k}\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=1}^{k}f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687a27981ddc6f6e6a67cbb2eeee5b1453da2ea4)
中間項的和為:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx=\int _{1}^{k+1}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c66f301ba61248d5577905633e1a6a9470d3a1)
對上述不等式取極限
,有:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n+1)\leq \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1571cf42ff52da940f6725b5aad558707dc502ce)
因此,若積分
收斂,則無窮級數
收斂;若積分發散,則此級數發散。
調和級數
是發散的,因為它的原函數是自然對數:
,當
時。
而級數
則對所有的ε > 0都是收斂的,因為:
,對於所有![{\displaystyle M\geq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc05c54cf3f11a97ac1db17f2436c08523ea0e1)
- Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073