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真凸函數

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數學分析, 特別是凸分析最優化中, 凸函數 f擴展實數線上的取值若滿足存在 x 使得

同時對所有 x 滿足

稱被稱作真凸函數。 這意味着,若凸函數為「真」, 則其有效域非空,值不為 .[1]

不滿足真條件的凸函數被稱作「非真凸函數」。[2]

若函數 g 的負函數 為真凸函數, 則 g 為「真凹函數」。

性質

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對於Rn 上任意真凸函數f, 存在Rn上的 b 與實數 β, 使得所有 x滿足

兩個真凸函數的和未必保持真與凸的性質。舉例來說, 假設集合 均為向量空間 X 上的非空 凸集, 那麼特徵函數 為真凸函數, 但是當 時, 始終等於 .

兩個真凸函數的卷積下確界為凸函數, 但未必是真凸。[3]

參考文獻

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  1. ^ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3. Springer. 2007: 254. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9. 
  2. ^ Rockafellar, R. Tyrrell. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997: 24 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6. 
  3. ^ Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich, Theory of extremal problems, Studies in Mathematics and its Applications 6, North-Holland: 168, 2009, ISBN 9780080875279 .