流 (數學)

在數學中，一個流用數學方式形式化了「取決於時間的變化」的一般想法，這經常出現在工程學, 物理學和常微分方程的研究中。非正式地說，如果 $x(t)$ 是某一系統的坐標連續表現為一個 t 的函數，那麼 $x(t)$ 是一個流。更形式地說，流是單參數群在一個集合上的群作用。

向量流的概念，即由一個向量場確定的流，出現於微分拓撲、黎曼流形和李群諸多領域。向量流的特例包括測地流、哈密頓流、里奇流、平均曲率流以及 Anosov 流。

形式化定義

集合 $X$ 上的一個流是 $(\mathbb {R} ,+)$ 在 $X$ 上的群作用。更準確地，流是一個函數 $\varphi :X\times \mathbb {R} \rightarrow X$ ，滿足 $\varphi (x,0)=x$ 且和單參數群保持一致：

\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t)

對所有 $s,t$ 屬於 $\mathbb {R}$ 和 $x\in X$ 。

集合 ${\mathcal {O}}(x,\varphi )=\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}$ 稱為 $x$ 在 $\varphi$ 作用下的軌道。

當空間 $X$ 有額外的結構（比如 $X$ 是一個拓撲空間或 $X=\mathbb {R} ^{n}.$ ）時，流經常要求連續甚至可微。

在許多領域，包括在工程學、物理和常微分方程研究中一般用一個記號明確的表明流。從而

x(t)

寫成 $\phi (x,t)$ ，這樣我們可以說「變量 x 取決於時間 t」。事實上，在記號上，有嚴格的等價關係： $x(t)\equiv \phi (x,t)$ 。類似地

x_{0}=x(0)

寫成 $x=\phi (x,0)$ ，等等。

流最常見的例子是描述自治常微分方程的解，當方程的解存在且惟一時

y'=f(y),\;\;\;y(0)=x

可作為初始條件 $x$ 的函數。這就是，如果以上方程有惟一的解 $\psi _{x}:\mathbb {R} \rightarrow X$ 對任何 $x\in X$ ，那麼 $\varphi (x,t)=\psi _{x}(t)$ 定義了一個流。