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柯西積分公式

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柯西積分公式數學複分析的一個重要結論,以十九世紀法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名。柯西積分公式說明了任何一個閉合區域上的全純函數在區域內部的值完全取決於它在區域邊界上的值,並且給出了區域內每一點的任意階導數的積分計算方式。柯西積分公式是複分析中全純函數「微分等同於積分」特性的表現。而在實分析中這樣的結果是完全不可能達到的。

這個公式是柯西在1831年證明的。柯西在同年10月11日首次將其發表,並將它寫入了1841年發表的《分析與數學物理習題集》(Exercices d'analyse et de physique mathématique)一書中。[1]:204

定理

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複平面的一個單連通開子集是一個上的全純函數。設內的一個簡單閉合的可求長曲線(即連續而不自交並且能定義長度的閉合曲線),那麼函數內部的點上的值是:

其中的積分為沿着逆時針方向的積分。[2]:167

以上公式說明,全純函數必然是無窮次可導的。這是因為假設以上的公式對函數n階導數成立:

對上式等號右側的積分進行n分部積分變換就可得到對n階導數的柯西積分公式:

有時也稱作柯西微分公式。右端是一個復可微的函數。這說明n階導數仍然是復可微的。所以依據數學歸納法可知是無窮次可導的,並且柯西微分公式對任意階的導數都成立。

如果函數僅在內部是全純函數,在邊界上僅僅是連續函數,那麼只有函數的柯西積分公式成立,而微分公式不一定成立。[2]:167

證明

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選定以為圓心,在內部的一個圓盤,它的邊界是。函數在閉合區域上是全純函數,所以根據柯西積分定理,它在邊界上的積分等於0:

其中的標記表示沿「內邊界」的積分是順時針方向。所以將這個積分改為沿逆時針方向後,就能得到:

這個等式與圓盤的半徑無關,也就是說無論圓盤多麼小,這個等式都成立。注意到當半徑趨於0的時候,函數在圓上的值基本上等於。所以

這說明

[2]:168-169

例子

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函數 g(z) = z2 / (z2 + 2z + 2) 實部的圖像,在兩個極點附近趨於無窮

考慮函數:以及閉合區域:|z| = 2。這是一個以原點為圓心,半徑為2的圓,以下記作. 下面使用柯西積分公式計算沿的積分。

首先,函數有兩個極點,分別是方程的兩個復根: 它們的長都小於2,所以都在的內部。函數可以寫成

在兩個極點附近趨於無窮。在兩個極點周圍各作一個小圓圈:,應用柯西積分定理可知,所要求的積分

注意到函數內部是全純函數,所以在上的積分:

同理,函數內部是全純函數,所以

所以

參見

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參考來源

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  1. ^ Reinhold Remmert. Theory of Complex Functions. Springer (GTM122). 1991. ISBN 9780387971957 (英語). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 S.D. Joglekar. Mathematical Physics: The Basics. Universities Press. 2005. ISBN 9788173714221 (英語).