柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是拉格朗日中值定理的推廣,是微分學的基本定理之一。
如果函數
及
滿足
- 在閉區間
上連續;
- 在開區間
內可微分;
- 對任意
;
那麼在
內至少有一點
,使等式
![{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48989e59404d38e4197e241c85f17f498a1f1183)
或
柯西定理的幾何意義
![{\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(\xi )=(g(b)-g(a))f\,'(\xi )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642f0b72b9e87676f11816ba308ce712de0e3d5c)
成立。
其幾何意義為:用參數方程表示的曲線上至少有一點,它的切線平行於兩端點所在的弦。
但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切線,因為可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,換句話說取某個值時位於曲線的駐點;在這些點處,曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子
![{\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234d186efe5b19b35d51c698e33a39c50209abf1)
在區間[−1,1]上,曲線由(−1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線;然而它有一個駐點(實際上是一個尖點)在t = 0時。
柯西中值定理可以用來證明洛必達法則. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理當g(t) = t時的特殊情況。
首先,如果
,由羅爾定理,存在一點
使得
,與條件3矛盾。所以
。
令
。那麼
在
上連續,
在
上可導,
。由羅爾定理,存在一點
使得
。即
。命題得證。