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楊輝三角形

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永樂大典》一頁:楊輝引用賈憲《釋鎖算書》中的賈憲三角形

楊輝三角形,又稱帕斯卡三角形賈憲三角形海亞姆三角形巴斯卡三角形,是二項式系數的一種寫法,形似三角形,在中國首現於南宋楊輝的《詳解九章算法》得名,其在書中說明是引自賈憲的《釋鎖算書》,故又名賈憲三角形。前 9 行寫出來如下:

楊輝三角形第 層(頂層稱第 0 層,第 1 行,第 層即第 行,此處 為包含 0 在內的自然數)正好對應於二項式 展開的係數。例如第二層 1 2 1 是冪指數為 2 的二項式 展開形式 的係數。

性質

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每個數是它左上方和右上方的數的和
各條線穿過的數之和均為斐波那契數
用楊輝三角形做成的謝爾賓斯基三角形
  1. 楊輝三角形以正整數構成,數字左右對稱,每行由1開始逐漸變大,然後變小,回到1。
  2. 楊輝三角形每一行的平方和在楊輝三角出現奇數次。
  3. 楊輝三角形第2的冪行所有數都是奇數[註 1],此為盧卡斯定理的特殊情況。
  4. 行的數字個數為 個。
  5. 行的第 個數字為組合數
  6. 行數字和為 ,因為第 行是 的二項展開。
  7. 行的數字按順序寫下所形成的數字為 ,因為該數字是 的二項展開。例如第二行 ,第三行 ,第四行 ,第五行 ,第六行 (第六行之後需進位)。該規律可推廣至任何進位制,例如在九進制下:
  8. 除每行最左側與最右側的數字以外,每個數字等於它的左上方與右上方兩個數字之和(也就是說,第 行第 個數字等於第 行的第 個數字與第 個數字的和)。這是因為有組合恆等式:。可用此性質寫出整個楊輝三角形。
  9. 如果 質數,則第 行的數中除了兩端的1以外均為 的整數倍數。若 合數則不然。[註 2]
  10. 按照該三角形的斜邊以及與之平行的斜線上的數所形成的數列為第 維度單純形數。即第一列全為1(0維),第二列為自然數形成的數列,第三列為三角形數形成的數列,第四列為四面體數形成的數列,第五列為五胞體數形成的數列,以此類推。
  11. 行(第 層)的所有的數的平方和為第 行(第 層)正中央的數字。可用該式得出 。例如第五行(第四層)所有的數的平方和 是第九行(第八層)正中央的數字。
  12. 將三角形左端對齊之後,沿右斜45度的對角線方向(不改變三角形形狀的話則需要按照中國象棋的走法)取得的數之和為斐波那契數
  13. 將第奇數行正中央的數減去其左側(或右側)第二個數,得到的差為卡塔蘭數
  14. 將楊輝三角形中所有的奇數與所有的偶數以不同顏色塗色的話,可以形成一個類似謝爾賓斯基三角形的圖形。

歷史

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印度手稿中使用的 Meru Prastaara (मेरु प्रस्तार),源自賓伽羅 的公式。拉古納特圖書館J&K手稿;公元755年
朱世傑《四元玉鑒》中的「古法七乘方圖」

波斯數學家Al-Karaji和天文學家兼詩人歐瑪爾·海亞姆(عمر خیام,Omar Khayyám)在10世紀都發現了這個三角形,而且還知道可以藉助這個三角形找次根,和它跟二項式的關係。但他們的著作已不存。[2]

11世紀北宋數學家賈憲發明了賈憲三角,並發明了增乘方造表法,可以求任意高次方的展開式係數。賈憲還對賈憲三角表(古代稱數字表為「立成」)的構造進行描述。[3]賈憲的三角表圖和文字描寫,仍保存在大英博物館所藏《永樂大典》卷一萬六千三百四十四。

13世紀中國南宋數學家楊輝在《詳解九章算術》裡解釋這種形式的數表,並說明此表引自11世紀前半賈憲的《釋鎖算術》[4]

1303年元代數學家朱世傑在《四元玉鑒》卷首繪製《古法七乘方圖》[5]

意大利人稱之為「塔塔利亞三角形」(Triangolo di Tartaglia)以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞

布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果,並以此解決一些概率論上的問題,影響面廣泛,皮埃爾·雷蒙·德蒙莫爾(1708年)和亞伯拉罕·棣莫弗(1730年)都用帕斯卡來稱呼這個三角形。

歷史上曾經獨立繪製過這種圖表的數學家:

  • Karaji 和 歐瑪爾·海亞姆 波斯 10世紀(圖文無存)
  • 賈憲 中國北宋 11世紀 《釋鎖算術》 (圖文現存大英博物館所藏《永樂大典》)
  • 楊輝 中國南宋 1261《詳解九章算法》記載之功(圖文現存大英博物館所藏《永樂大典》)
  • 朱世傑 中國元代 1299《四元玉鑒》級數求和公式
  • 阿爾·卡西 阿拉伯 1427《算術的鑰匙》(現存圖文)
  • 阿皮亞納斯 德國 1527
  • 施蒂費爾 德國 1544《綜合算術》二項式展開式係數
  • 薛貝爾 法國 1545
  • B·帕斯卡 法國 1654《論算術三角形》

中國數學家的研究

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中國賈憲是賈憲三角的發明人,賈憲/楊輝稱之為「釋鎖求廉本源」,朱世傑稱之為「古法七乘方圖」(1303年),明代數學家吳敬《九章詳註比類算法大全》稱之為「開方作法本源」(1450年);明王文素算學寶鑑》稱之為「開方本源圖」(1524年);明代程大位算法統宗》稱之為「開方求廉率作法本源圖」(1592年)。 清代梅文鼎《少廣拾遺》稱之為「七乘府算法」(1692年);清代孔廣森《少廣正負術》稱之為「諸乘方乘率表」;焦循《加減乘除釋》稱之為「古開方本原圖」;劉衡《籌表開諸乘方捷法》稱之為「開方求廉率圖」;項名達《象數一原》稱之為「遞加圖」。偉烈亞力《數學啟蒙》稱之為「倍廉法表」;李善蘭《垛積比類》稱之為「三角垛表」。近代中算史家李儼稱之為「巴斯噶三角形」,但根據《永樂大典》指出「巴斯噶三角形」最早由賈憲使用。[6]。著名數學家華羅庚,在1956年寫的一本通俗讀物《從楊輝三角談起》[7],將賈憲的《開方作法本源》稱為「楊輝三角」,首次將「巴斯噶三角形」回歸宋代數學家名下;此後的中學數學教科書和許多數學科普讀物都跟隨之[8]。另一方面,專業的中國數學史著作,都用「賈憲三角」這個稱呼。[9][10]

一個數在楊輝三角出現的次數

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由1開始,正整數在楊輝三角形出現的次數為:,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... (OEIS:A003016)。最小而又大於1的數在賈憲三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... (OEIS:A062527

  • 除了1之外,所有正整數都出現有限次。
  • 只有2出現剛好一次。
  • 6,20,70等出現三次。
  • 出現兩次和四次的數很多。
  • 還未能找到出現剛好五次或七次的數。
  • 120,210,1540等出現剛好六次。(OEIS:A098565
    • 因為丟番圖方程

      有無窮個解[11],所以出現至少六次的數有無窮多個。
    • 其解答,是

    • 其中表示第個斐波那契數()。
  • 3003是第一個出現八次的數。

註釋

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  1. ^ 亦即組合數恆為奇數,其中為非負整數,中的某一數。
  2. ^ 考慮二項式係數,並限定n不為p或0,則由於分子有質數p,但分母不含p,故分子的p能保留,不被約分而除去,即恆為p的倍數[1]。另見中一新生之夢

參考文獻

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  1. ^ How is (x+y)^p≡x^p+y^p mod p for any prime number p. Mathematics Stack Exchange. 2018-09-27 [2021-04-26]. (原始內容存檔於2022-03-25) (英語). 
  2. ^ Victor J. Katz, editor, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam, A Sourcebook. Page 518, Princeton University Press 2007.
  3. ^ 郭書春著 《中國科學技術史·數學卷》第十五章 《唐中葉至元中葉熟悉概論》第357頁 (賈憲)創造《開發作法本源》即賈憲三角 科學出版社 2010
  4. ^ 永樂大典》卷一萬六千三百四十四
  5. ^ 朱世傑 原著 李兆華校證 《四元玉鑒校證》卷首《古法七乘方圖》 第58頁 科學出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6
  6. ^ 李儼 《中算家的巴斯噶三角形研究》《李儼.錢寶琮科學史全集》卷6,215-230頁
  7. ^ 華羅庚著 《從楊輝三角談起》 《數學通報叢書》科學出版社 1956年10月
  8. ^ 郭書春 《中國科學技術史·數學卷》422頁 第十八章第二節 《賈憲三角》,科學出版社 2010
  9. ^ 吳文俊主編 《中國數學史大系》第五卷 704頁
  10. ^ 郭書春 《中國科學技術史·數學卷》 第十八章第二節 《賈憲三角》,科學出版社 2010
  11. ^ Singmaster, David, "Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly, volume 13, number 4, pages 296—298, 1975.

外部連結

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參見

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