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條件熵

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信息論中,條件熵描述了在已知第二個隨機變量 的值的前提下,隨機變量 的信息熵還有多少。同其它的信息熵一樣,條件熵也用Sh、nat、Hart等信息單位表示。基於 條件的 的信息熵,用 表示。

定義

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如果 爲變數 在變數 取特定值 條件下的熵,那麼 就是 取遍所有可能的 後取平均的結果。

給定隨機變量 ,定義域分別爲 ,在給定 條件下 的條件熵定義爲:[1]

注意: 可以理解,對於確定的 c>0,表達式 0 log 0 和 0 log (c/0) 應被認作等於零。

當且僅當 的值完全由 確定時,。相反,當且僅當 獨立隨機變數

鏈式法則

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假設兩個隨機變數 XY 確定的組合系統的聯合熵,即我們需要 bit的信息來描述它的確切狀態。 現在,若我們先學習 的值,我們得到了 bits的信息。 一旦知道了 ,我們只需 bits來描述整個系統的狀態。 這個量正是 ,它給出了條件熵的鏈式法則

鏈式法則接著上面條件熵的定義:

貝葉斯規則

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條件熵的貝葉斯規則英語Bayes' rule表述爲

證明. and 。對稱性意味著 。將兩式相減即爲貝葉斯規則。

推廣到量子理論

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量子信息論中,條件熵都概括為量子條件熵

參考文獻

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  1. ^ Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. Elements of information theory 1st. New York: Wiley. 1991. ISBN 0-471-06259-6.