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朗道分布

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朗道分布
機率密度函數

參數

— 寬度參數

— 位置參數
值域
機率密度函數
期望值 無定義
變異數 無定義
動差母函數 無定義
特徵函數

概率論中,朗道分布(英語:Landau distribution[1]是因物理學家列夫·朗道而得名的一種概率分布。由於它所具有的「長尾」現象,這種分布的各階(如數學期望與方差)都因發散而無法定義。這種分布是穩定分布的一個特例。

定義

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標準朗道分布的概率密度函數由以下積分式表示,

其中c為任意正實數,log 為自然對數。可以證明,上式結果與c的取值無關。在複平面上做圍道積分,可得到便於計算的實積分式,

上式即 的標準朗道分布概率密度函數。通過將標準朗道分布擴展到一個位置-尺度分布族,就可以獲得完整的朗道分布族

特徵函數可表示如下,

兩個實參數的取值範圍 ,調整 分別實現朗道分布的平移和縮放[2]

相關性質

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朗道分布在 的近似

從特徵函數出發可以推導出:

  • 平移:若
  • 縮放:若
  • 可加性:若

以上三條性質保證了朗道分布是一種穩定分布,它的穩定參數和偏度參數 [3]

時,朗道分布可以近似表示為[4][5]


參考文獻

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  1. ^ Landau, L. On the energy loss of fast particles by ionization. J. Phys. (USSR). 1944, 8: 201. 
  2. ^ Meroli, S. Energy loss measurement for charged particles in very thin silicon layers. JINST. 2011, 6: 6013. 
  3. ^ Gentle, James E. Random Number Generation and Monte Carlo Methods. Statistics and Computing 2nd. New York, NY: Springer. 2003: 196. ISBN 978-0-387-00178-4. doi:10.1007/b97336. 
  4. ^ Behrens, S. E.; Melissinos, A.C. Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981). 
  5. ^ Interaction of Charged Particles. [14 April 2014]. (原始內容存檔於2012年6月30日).