在數學中,朗斯基行列式(Wronskian)名自波蘭數學家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基,是用於計算微分方程的解空間的函數。
對於給定的 n 個n-1 次連續可微函數,f1、...、fn,它們的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 為:
![{\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d888ba61b4389099c4886ea586b8f02c8b170f)
行列式的第 i 列是f1、...、fn 各函數的 i-1 次導數。組成這個行列式的 n 階方陣也稱作這 n 個函數的基本矩陣。
在解線性微分方程時,朗斯基行列式可以用阿貝爾恆等式來計算。
朗斯基行列式與線性無關解[編輯]
朗斯基行列式可以用來確定一組函數在給定區間上的線性相關性。
對於 n 個n-1 次連續可微函數 f1、...、fn,它們的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) :
![{\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d888ba61b4389099c4886ea586b8f02c8b170f)
定理:
- 如果 f1、...、fn 在一個區間 [a, b] 上線性相關,則 W(f1, ..., fn) 在區間 [a, b] 上恆等於零。
也就是說,如果在某些點上 W(f1, ..., fn) 不等於零,則 f1、...、fn 線性無關
注意,若 W(f1, ..., fn) 在區間 [a,b] 上恆等於零,函數組不一定線性相關。
齊次線性微分方程[編輯]
考慮 n 階線性微分方程:
![{\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(t){\frac {dx}{dt}}+a_{n}(t)x=f(t)\qquad \qquad \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff876fbb3127b7946c0293f1a8f8a8f0bb834c70)
其中
是區間 [a,b] 上的連續函數。並考慮
,即 n 階齊次線性微分方程的情形:
![{\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(t){\frac {dx}{dt}}+a_{n}(t)x=0\qquad \qquad \qquad \quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62982bb3cae0268a41dea1e7f7503e3d0d2ee08b)
對於一組給定的初始值:
![{\displaystyle x(0)=x_{0},\ {\frac {dx}{dt}}(0)=x_{1},\ \cdots ,\ {\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}(0)=x_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77420e30820d73abe945a607b2b4d4334634d351)
方程 (1) 有唯一解
。如果初始值不定的話,(2) 的任一解加上
仍然是 (1) 的解。而對於 (2) ,任意k個 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解,因此 (2) 的解集構成一個線性空間,稱為 (2) 的解空間。
定理的證明[編輯]
如果 f1、...、fn 在一個區間 [a,b] 上線性相關,則存在不全為零的係數
使得對區間 [a,b] 上的任意 t,
![{\displaystyle c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdots c_{n}f_{n}(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31b1620717b7f57129a0adf2bd432a0ebf32f5a)
因為「微分」是線性算子,所以這個等式可以「延伸」到n-1階導數。故有以下方程組:
![{\displaystyle {\begin{cases}c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdots c_{n}f_{n}(t)=0\\c_{1}f_{1}'(t)+c_{2}f_{2}'(t)+\cdots c_{n}f_{n}'(t)=0\\\ldots \\c_{1}f_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}f_{2}^{(n-1)}(t)+\cdots c_{n}f_{n}^{(n-1)}(t)=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de2ff453b45d8e64aaa5b121b8a973ba30ddd2a)
將
看作變量,則上式變為一個 n 元齊次線性方程組,由於這個方程有非零解,係數矩陣的行列式 W(f1, ..., fn) = 0。
進一步可以證明, W(f1, ..., fn) 要麼在區間 [a,b] 上恆等於零,要麼處處不為零(沒有零根)。於是可以證明 (2) 有 n 個線性無關的解,並且它們線性張成的空間就是 (2) 的解空間。所以, (2) 的解空間是一個 n 維線性空間。 (2) 一組 n 個線性無關的解稱作它的一個基本解組。
1. 考慮三個函數:1、x和x2,在任意一個區間上,他們的朗斯基行列式是:
![{\displaystyle W={\begin{vmatrix}x^{2}&x&1\\2x&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c946ba89eb56e17348b2f900cf8ef955d05a99c3)
不等於零,因此,這三個函數在任一個區間上都是線性無關的。
2.考慮另三個函數:1、x2和2x2+3,在任意一個區間上,他們的朗斯基行列式是:
![{\displaystyle W={\begin{vmatrix}2x^{2}+3&x^{2}&1\\4x&2x&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8x-8x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a244ea30788fffd48c94f59f3e80c0c1bbd41265)
事實上三者線性相關。
3.上面已經提到,朗斯基行列式等於零的函數組不一定線性相關。下面是一個反例:考慮兩個函數,x3和|x3|,即x3的絕對值。計算兩者的朗斯基行列式
![{\displaystyle W=\left\{{\begin{matrix}{\begin{vmatrix}x^{3}&-x^{3}\\3x^{2}&-3x^{2}\end{vmatrix}}=-3x^{5}+3x^{5}=0,x<0\\{\begin{vmatrix}x^{3}&x^{3}\\3x^{2}&3x^{2}\end{vmatrix}}=3x^{5}-3x^{5}=0,x\geq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9ac60e5f04c41524bb4c32e1db5f85e791134c)
他們的朗斯基行列式恆等於零,但兩者顯然線性無關。
外部連結[編輯]