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有限體積法

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有限體積法( 英文:finite volume method )是一種以數值方法偏微分方程的計算方式[1]。 在有限體積法中,將要描述的物理實體切分為網格單元來描述,並使用發散定理,將所有包含發散項的偏微分方程中的體積積分轉換為表面積分。然後將每個網格的項加總,便成為每個有限體積表面的通量。因為進入給定體積的通量與離開相鄰體積的通量相同,所以這些方法是守恆的。該方法用於許多計算流體動力學軟體。

有限體積法常被拿來與有限元素分析做比較,後者使用節點值來近似導數,或者使用有限元方法來使用局部數值來逼近解的局部近似值,並通過將它們加總在一起來形成全域近似值。另一方面,有限體積法會計算某個體積中的網格解之平均,然後使用此平均值來決定單元內解的近似值[2][3]

舉例

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一維平流問題:

在這裡代表狀態變量, 代表的通量流量 。習慣上,正值代表向右流動,而負值代表向左流動。如果假設式(1)表示恆定面積的流動介質,則可以空間域 ,細分為數個網格單元以每個網格單元所佔的有限體積以作為標記 。對於特定的單元 ,我們可以定義該體積某物理量( 壓力、溫度等 )之通量流量平均值在時間 ,如式(2)

而在時間時式(2)可寫為:

此處分別代表上游和下游面或網格單元的交界面位置

將式(1)積分,可得:

為了得到在時間 的有限體積平均值,在此積分位於整個有限體積的所有網格的流量,並並將計算結果除以 ,即可得:

我們可以逆向積分的順序。同樣,請記住,流量垂直於單元的表面。現在,因為一維 ,我們可以應用散度定理,即 ,並用的值代替散度的體積積分在網格單元表面計算(某單元與其他單元之前後交界面 )的有限體積如下:

因此,對於上述問題,我們可以得出一個半離散的數值格式,其單元中心的索引為 ,且單元交界面通量的索引為 ,通過對時間對式(6)進行微分,可得:

通過某單元交界面通量的值可以通過對單元平均值進行內插外推來獲得。式(7)對於該有限體積的平均值是精確的,因為在推導過程中未進行任何近似。

該方法也可以應用於2D形況,只要同時考慮單元四周交界面,北面、南面、東面和西面即可。

一般守恆法則

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我們還可以考慮以下PDE代表的一般守恆定律問題,

此處 代表狀態向量代表相應的通量張量。同樣,我們可以將空間域細分為有限體積的網格單元。對於特定的網格單元 ,將體積積分乘以單元的總體積 , 如式(9)。

將第一項積分可得體積平均值然後將散度定理應用於第二項,可得:

此處代表單元的總表面積, 是垂直於表面並指向外的單位向量。最後,可得一般結果如式(11)。

同樣的,可以通過對單元平均值進行內插或外推來重建交界面通量的值。實際的數值將取決於問題的幾何形狀和軮格結構。

有限體積方案是守恆的,因為單元平均會通過交界面通量而變化。換句話說,某個單元所損失的物理量,必定會通過交界面而被另一單元所獲得!

相關文獻

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  • Eymard, R. Gallouët, T. R., Herbin, R.英語Raphaèle Herbin (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
  • Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
  • Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
  • LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
  • LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
  • Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
  • Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
  • Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
  • Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

參考資料

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  1. ^ LeVeque, Randall. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. 2002 [2020-12-23]. ISBN 9780511791253. (原始內容存檔於2020-10-23). 
  2. ^ Fallah, N. A.; Bailey, C.; Cross, M.; Taylor, G. A. Comparison of finite element and finite volume methods application in geometrically nonlinear stress analysis. Applied Mathematical Modelling. 2000-06-01, 24 (7): 439–455. ISSN 0307-904X. doi:10.1016/S0307-904X(99)00047-5 (英語). 
  3. ^ Ranganayakulu, C. (Chennu). Chapter 3, Section 3.1. Compact heat exchangers : analysis, design and optimization using FEM and CFD approach. Seetharamu, K. N. Hoboken, NJ. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC 1006524487. 

外部連結

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