振盪 (數學)

序列的振盪（藍色）是序列的上極限和下極限的差值。

數學中，函數或序列的振盪是用於量化序列或函數在接近無窮大或某一點時，其極值之間的變化程度的數字。與極限類似，有好幾種定義將這一隻管概念轉化為適合數學處理的形式：實數序列的振盪、實值函數在一點的振盪，以及函數在區間（或開集）上的振盪。

定義

序列的振盪

令$(a_{n})$為實數序列。則序列的$\omega (a_{n})$振盪可定義為$(a_{n})$的上下極限之間的差（可能是無窮大）：

$\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}$.

當且僅當序列收斂時，振盪為零。若$\limsup _{n\to \infty }$、$\liminf _{n\to \infty }$都等於+∞或−∞，即序列趨近於+∞或−∞，則稱振盪未定義。

開集函數的振盪

令$f$為實變量的實值函數，則$f$在區間$I$上的振盪是$f$的上下確界之差：

$\omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).$

更一般地說，若$f:X\to \mathbb {R}$是拓撲空間$X$（如度量空間）上的函數，則$f$在開集$U$上的振盪為

$\omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).$

函數在一點的振盪

實變函數$f$在$x_{0}$處的振盪定義為$f$在$x_{0}$的$\epsilon$鄰域上的振盪在$\epsilon \to 0$時的極限：

$\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).$

這等同於函數在$x_{0}$處的上下極限之差，前提是$x_{0}$不被排除在極限之外。

更一般地說，若$f:X\to \mathbb {R}$是度量空間上的實值函數，則振盪為

$\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).$

示例

sin (1/x)（拓撲學家正弦曲線）在x = 0處的振盪為2，其他地方都是0。

• ${\frac {1}{x}}$在$x=0$處有無窮大的振盪，其他地方均為0。
• $\sin {\frac {1}{x}}$（拓撲學家正弦曲線）在$x=0$處的振盪為2，其他地方均為0。
• $\sin x$在所有有限的$x$處的振盪均為0，在−∞、+∞處為2。
• $(-1)^{x}$（1, -1, 1, -1, 1, -1...）的振盪為2。

最後一例的序列是周期的，而任何周期（非常值）序列的振盪必不是0。不過，非零振盪無法推出周期性。

從幾何角度看，實數振盪函數的圖形會沿着xy平面上的某條路徑運行，而不會收斂到越來越小的區域。在良態情況下，路徑可能看起來像一個循環，即周期性行為；在最糟糕的情況下，則是覆蓋整個區域的非常不規則的運動。

連續性

振盪可以用來定義函數的連續性，並且很容易等價於通常的ε-δ定義（對於定義在實線各處的函數）：當且僅當振盪為0時，函數ƒ在x₀處連續；用符號表示為$\omega _{f}(x_{0})=0.$這個定義的好處在於量化了不連續性：振盪給出了函數在某點的不連續程度。

例如，在間斷點的分類中有：

• 可去間斷點的函數偏移值等于震盪；
• 跳躍間斷點的函數跳躍值等于震盪（假設該點的值位於兩側極限之間）；
• 第二類間斷點中，振盪衡量了極限不存在的程度。

描述集合論中，這個定義有助於研究間斷點和連續點的集合：連續點是振盪小於ε的集合的交集（於是是G_δ集），並給出了勒貝格可積條件一個方向的快速證明。

通過簡單的重排和極限（上極限和下極限）來定義振盪，可以等價於ε-δ定義：若（在某點）對給定的ε₀，沒有能滿足ε-δ條件的δ，則振盪大於等於ε₀；反之，若對每個ε都有能滿足的δ，則振盪為0。振盪定義可以自然地推廣到從拓撲空間到度量空間的映射。

推廣

更一般地，設f : X → Y是拓撲空間X到度量空間Y的函數，則f的振盪可定義在每個x ∈ X：

$\omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ is\ a\ neighborhood\ of\ } x\right\}$

另見

• 波動函數
• 包絡
• 格蘭迪級數
• 有界平均振動

閱讀更多

• Hewitt and Stromberg. Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 1965: 78. ISBN 9780387901381.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Oxtoby, J. Measure and category 4th. Springer-Verlag. 1996: 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2. 
• Pugh, C. C. Real mathematical analysis. New York: Springer. 2002: 164–165. ISBN 0-387-95297-7.  含有內容需登入查看的頁面 (link)