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平行公設

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如果α和β的內角和小於180°,則兩直線不斷延伸,在這一側相交。

平行公設(英語:Parallel postulate),也稱為歐幾里得第五公設,因是《幾何原本》五條公設的第五條而得名。這是歐幾里得幾何一條與別不同的公理,比前四條複雜。公設是說:

如果一條線段與兩條直線相交,在某一側的內角和小於兩直角和,那麼這兩條直線在不斷延伸後,會在內角和小於兩直角和的一側相交。

假定所有歐幾里得公設(當中包括平行公設)都成立的幾何稱為歐幾里得幾何。假定平行公設不成立的稱為非歐幾里得幾何。不依賴於平行公設的幾何,也就是只假設前四條公設的,稱為仿射幾何[1] 這只是一個與平行線的性質有關的公設。歐幾里得已在《幾何原本》第I卷定義第23條中定義過平行線了。[2]

歐幾里得幾何的有些性質與平行公設等價,也就是假設平行公設成立,可推導出這些性質,反過來假設這些性質的一項為公理,也可以推導出平行公設。其中最重要的一項,也是最常作為公理代替平行公設的,要算是蘇格蘭數學家約翰·普萊費爾提出的普萊費爾公理

給定一條直線,通過此直線外的任何一點,有且只有一條直線與之平行。

這裡有個問題要提出來,即在證明第五公設時,平面是不加定義,如果平面作如下定義:滿足第五公設的面定義為平面。這實際上可用公理法對平面作定義。如果有這定義,第五公設是自明的。這才符合直觀。

歷史

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很多人嘗試用前四條公設證明平行公設都不成功,反而創造了違反平行公設的雙曲幾何。最後由意大利數學家貝爾特拉米(Eugenio Beltrami)證明了平行公設獨立於前四條公設。

等價命題

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很多命題看似與平行線無關,實則與平行公設等價。有些性質看似很明顯,因而被一些聲稱證明了平行公設的人不經意用到了。這裡是一些命題:

  1. 三角形內角和為兩直角。
  2. 所有三角形的內角和都相等。
  3. 存在一對相似但不全等的三角形。
  4. 所有三角形都有外接圓。
  5. 四邊形三個內角是直角,那麼第四個內角也是直角。
  6. 存在一對等距的直線。
  7. 平行滿足遞移性,即若兩條直線都平行於第三條,那麼這兩條直線也平行。

參考文獻

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