對稱雙線性形式是在向量空間上的對稱雙線性形式。它們在正交極性和二次曲面的研究中非常重要。
設 V 在域 K 上的 n 維向量空間。映射
是這個空間上的對稱雙線性形式,如果:
![{\displaystyle B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0531fd0e9121f7c71c852fdf9095ea565696a8)
![{\displaystyle B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa915cb10bb1957f99f03da713c9c73b398a427)
![{\displaystyle B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc8e3d46c5a802724a4a2801c92b4411dddf43f)
最後兩個公理只蘊涵在第一個參數中的線性,但是第一個公理直接蘊涵了在第二個參數中的線性。
矩陣表示[編輯]
設
是 V 的基。定義
矩陣 A 通過
。矩陣 A 是對稱的完全由於雙線性形式的對稱性。如果
矩陣 x 表示關於這個基的一個向量 v,類似的 y 表示 w,則
給出為:
。
假設 C' 是 V 的另一個基,有着可逆的
矩陣 S 使得:
。現在對稱雙線性形式的新矩陣表示給出為
。
正交性和奇異性[編輯]
對稱雙線性形式總是自反的。定義兩個向量 v 和 w 是關於雙線性形式 B 是正交的,如果
,由於自反性它等價於
。
雙線性形式 B 的根是正交於 V 中所有其他向量的向量的集合。你可以輕易查出它是 V 的子空間。在使用關於特定基的矩陣表示 A 的時候,由 x 表示的 v 在根中,當且僅當
![{\displaystyle Ax=0\Longleftrightarrow x^{T}A=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832549f5afa31179b0f08216e8ee47136197cb1f)
矩陣 A 是奇異的,當且僅當根是不平凡的。
如果 W 是 V 的子空間,則正交於 W 中所有向量的集合
也是子空間。當 B 的根是平凡的時候,
的維度是 n − dim(W)。
正交基[編輯]
基
關於 B 是正交的,當且僅當:
![{\displaystyle B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe4f02e065d20a5a6ff5375e566aebbaefd392a)
在域的特徵不是2的時候,總存在正交基。這可以通過歸納法證明。
基 C 是正交的,當且僅當矩陣表示 A 是對角矩陣。
西爾維斯特慣性定理與慣性指數[編輯]
一般情況下,西爾維斯特發現的慣性定理聲稱,在K為有序域的時候,簡化後的二次型的矩陣表示中的對角元素等於 0、正或負的數目獨立於正交基的選擇。後兩個數被稱為雙線性形式的正、負慣性指數[1]。
實數情況[編輯]
當工作於在實數上的空間的時候,可以走的遠一點。
設
是正交基。
我們定義一個新基
![{\displaystyle e'_{i}=\left\{{\begin{matrix}e_{i}&{\mbox{if }}B(e_{i},e_{i})=0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}}&{\mbox{if }}B(e_{i},e_{i})>0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {-B(e_{i},e_{i})}}}&{\mbox{if }}B(e_{i},e_{i})<0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191fe783c73439a136f0cbf8e95eae79a85755f9)
現在,新矩陣表示 A 將是在對角線上只有 0,1 和 -1 的對角矩陣。零將出現當且僅當根是非平凡的。
複數情況[編輯]
當工作於在複數之上的空間中的時候,可以相當容易的走的更遠一點。
設
是正交基。
我們定義新的基
:
![{\displaystyle e'_{i}=\left\{{\begin{matrix}e_{i}&{\mbox{if }}\;B(e_{i},e_{i})=0\\e_{i}/{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}&{\mbox{if }}\;B(e_{i},e_{i})\neq 0\\\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20fcfd2d4a4b07726eb4f3e4e07ee0386907b4c3)
現在新矩陣表示 A 將是在對角線上只有 0 和 1 的對角矩陣。零將出現當且僅當根是非平凡的。
正交極性[編輯]
設 B 是雙線性形式,它帶有不同於 2 的特徵的域 K 上的空間 V 上的根。現在可以定義從 V 的所有子空間的集合 D(V) 到自身的映射:
![{\displaystyle \alpha :D(V)\rightarrow D(V):W\mapsto W^{\perp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1359f3379630ebd469080cadac56121eb4bd5e)
這個映射是在投影空間 PG(W) 上的正交極性。反過來說,你可以證明所有正交極性可以用這種方式引出,並且帶有平凡根的兩個對稱雙線性形式引發同樣的極化,當且僅當它們差一個標量乘法。
參考文獻[編輯]