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商空間 (線性代數)

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線性代數中,一個向量空間V關於子空間N是將N「坍塌」為零得到的向量空間。所得的空間稱為商空間quotient space),記作V/N(讀作:VN)。

定義

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正式地,此構造如下(Halmos 1974,§21-22)。設VK上的一個向量空間,且NV的一個子空間。我們定義在V上定義一個等價關係~,如果xyN則令x ~ y。即如果其中一個加上N中一個元素得到另一個,則xy相關。x的所在等價類通常記作

[x] = x + N

因為它由

[x] = {x + n : nN}給出。

那麼商空間V/N定義為V/~,V在~下所有等價類集合。等價類上的數乘與加法定義為

  • α[x] = [αx]對所有α ∈ K,以及
  • [x] + [y] = [x+y]。

不難驗證這些運算是良定義的(即與代表元之選取無關)。這些運算將商空間V/N轉化為K上一個向量空間,N成為零類[0]。相對應的,商映射即定義為v ∈ V與等價類[v]之映射

例子與性質

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X = R2為標準笛卡兒平面YX中過原點的一條直線。則商空間X/Y可與X中與Y平行的所有直線等價。這就是講,集合X/Y的元素是X中平行於Y的元素。要注意的是,X,Y是集合而不是單一的向量,如果W表示向量(0,1)的線性生成空間,那麼X/W = [0,1]。[0,1]作為一個等價類,包括了諸如 x = 1, x = 2等等的直線。從另一方面來講,如果W表示向量(1,0)的線性生成空間,那麼X/W = [1,0],包括了諸如y = 1, y = -1等等的直線。

另一個例子是Rn被前m個標準基向量張成的子空間的商。空間Rn由所有實數n-元組 (x1,…,xn)組成。子空間,與Rm等價,由只有前m元素是非零 (x1,…,xm,0,0,…,0)的所有n-元組組成。Rn的兩個向量在模去這個子空間的同一個共軛類中當且僅當他們的後nm個坐標相等。商空間Rn/ Rm顯然地同構Rnm

更一般地,如果V寫成子空間UW的一個(內部)直和

則商空間V/U自然同構於W (Halmos 1974,Theorem 22.1)。

如果UV的一個子空間,UV中的餘維數定義為V/U維數。如果V有限維的,這就是VU的維數之差(Halmos 1974,Theorem 22.2):

V到商空間V/U有一個自然滿射,將x映到它的等價類[x]。這個滿射的(或零空間)是子空間U。此關係簡單地總結為短正合序列

T : VW是一個線性算子T的核,記作ker(T),是所有xV使得Tx = 0的集合。核是V的一個子空間。線性代數第一同構定理說商空間V/ker(T)同構於VW中的像。一個直接推論,對有限維空間的秩-零化度定理V的維數等於核的維數(T的零化度)加上像的維數(T的秩)。

線性算子T : VW余核定義為商空間W/im(T)。

巴拿赫空間的商空間

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如果X是一個巴拿赫空間MX的一個子空間,則商X/M仍是一個巴拿赫空間。上一節已經給出商空間一個向量空間結構。我們定義X/M上一個範數

商空間X/M關於此範數是完備的,所以是一個巴拿赫空間。

例子

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C[0,1]表示區間[0,1]上連續實值函數的巴拿赫空間。記所有函數fC[0,1]使得f(0) = 0的子空間為M。則某個函數g的等價類由它在0點的值決定,商空間C[0,1]/M同構於R

如果X是一個希爾伯特空間,則商空間X/M同構於M正交補

推廣到局部凸空間

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局部凸空間被一個閉子空間商還是局部凸的(Dieudonné 1970,12.14.8)。事實上,假設X是局部凸的所以X上的拓撲由一族半範數{pα|α∈A}生成,這裡A是一個指標集。設M是一個閉子空間,定義X/M上半範數qα

X/M是一個局部凸空間,上面的拓撲是商拓撲

進一步,若X可度量化的,則 X/M也是;如果X弗雷歇空間X/M(Dieudonné 1970,12.11.3)也是。

相關條目

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參考文獻

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