可數選擇公理,指示為
,是公理化集合論的類似於選擇公理的一個公理。它聲稱非空集合的任何可數搜集都一定有選擇函數。保羅·寇恩證明了ACω在Zermelo-Fraenkel集合論(
)中是不可證明的。
足夠證明可數多可數集合的併集是可數的。它還足夠證明所有無限集合都是戴德金無限的(等價的說:有可數無限的真子集)。
對於開發數學分析特別有用,這裡的很多結果依賴於實數的可數集合有選擇函數(考慮為有理數的柯西序列的集合)。
是弱形式的選擇公理(AC),它聲稱非空集合的「所有」搜集一定有一個選擇函數。AC明確的蘊涵了依賴選擇公理(DC),而DC足夠證明
。但是
要嚴格弱於DC(而DC嚴格弱於AC)。
作為應用
的例子,下面是所有無限集合是戴德金無限的一個證明(在
中):
- 設
是無限的。對於每個自然數
,設
是
的所有
元素子集的集合。因為
是無限的,每個
是非空的。對序列
應用
,便得到了序列(
),這裡的每個
是有
個元素的
的子集。
- 集合
可能是相交的,但是我們可以定義
![{\displaystyle C_{0}=B_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc5725deeb6df9772dc5ec79710d186f42e7824)
是
與所有
的併集的差集,
。
- 明顯的每個集合
都有至少1個和至多
個元素,而集合
是兩兩不相交的。再對序列
應用
,便得到了序列
,其中
。
- 所以所有
都是相異的,而
包含一個可數集合。定義把每個
映射到
的函數
(並固定所有
的其他元素),f是從
到
的一一映射,它不是滿射,這證明了
是戴德金無限的。
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