在數學中,雙曲線(英語:hyperbola;希臘語:ὑπερβολή,意思是超過、超出)是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。
它還可以定義為與兩個固定的點(稱為焦點)的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是
的兩倍,這裡的
是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。
還稱為雙曲線的半實軸。焦點位於貫軸上,它們的中間點稱為中心。
從代數上說,雙曲線是在笛卡爾平面上由如下方程定義的曲線
![{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a694f3a0805f2f11868a2a69413866d64170409b)
使得
,這裡的所有係數都是實數,並存在定義在雙曲線上的點對
的多於一個的解。
在笛卡爾坐標平面上,兩個互為倒數的變量的圖像是雙曲線。
共軛單位直角雙曲線
上面已經列出:
- 平面切直角圓錐面的兩半的交截線。
- 與兩個固定點(稱為焦點)距離差為常數的點的軌跡。
- 到一個焦點的距離和到一條直線(稱為準線)的距離的比例是大於
的常數的點的軌跡。這個常數稱為雙曲線的離心率。
雙曲線由分開兩個焦點的兩個分離的稱為臂或分支的曲線構成。隨着到焦點的距離的變大,雙曲線就越逼近稱為漸近線的兩條線。漸近線交叉於雙曲線的中點,並對於東西開口的雙曲線有斜率
,對於北南開口的雙曲線有斜率
。
雙曲線有個性質,出自一個焦點的射線反射於雙曲線後看起來像是出自另一個焦點。
雙曲線的一個特殊情況是「等軸」或「直角」雙曲線,它的漸近線交於直角。以坐標軸作為漸近線的直角雙曲線由方程
給出,這裡的
是常數。
如果對雙曲線方程交換
和
,得到它的共軛雙曲線。共軛雙曲線有同樣的漸近線。
笛卡爾坐標[編輯]
中心位於
的左右開口的雙曲線:
![{\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa593fbc93a499a085f2f444748603862c05c194)
中心位於
的上下開口的雙曲線:
![{\displaystyle {\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0102ba9f789577a685c8a2a653de881e5b885781)
實軸貫穿雙曲線的中心並交雙曲線兩臂於它們的頂點。焦點位於雙曲線實軸的延長線上。虛軸貫穿雙曲線中點並垂直於實軸。
在兩個公式中,
是半實軸(在雙曲線兩臂之間沿着實軸測量的距離),而
是半虛軸。
如果用雙曲線的兩個頂點的切線交漸近線形成一個矩形,在切線上的兩邊的長度是
,平行於實軸的兩邊的長度是
,注意
可以大於
。
如果計算從雙曲線上任意準線上的點到每個焦點的距離,這兩個距離的差的絕對值總是
。
直角雙曲線
的圖像。
離心率給出自:
![{\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6925258c1847fdbc02e34004d0f7436afd38fc22)
左右開口的雙曲線的焦點是:
,其中c給出自
。
上下開口的雙曲線的焦點是:
,其中c給出自
。
等軸雙曲線[編輯]
等軸雙曲線的實軸與虛軸長相等,即
且
,此時漸近線方程為
(無論焦點在
軸還是
軸)。
單位雙曲線屬於等軸雙曲線,且半實軸和半虛軸的長均為
,即
,滿足方程:
或
。
對於以直線
和直線
為漸近線的直角雙曲線:
![{\displaystyle (x-h)(y-k)=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8370cf48eb5ae5c0591bcb146e259c9f9e4307d9)
這種雙曲線最簡單的例子是:
![{\displaystyle y={\frac {m}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150a5ab7bfc7d231ee4d81c76eb27fca21d5c501)
共軛雙曲線[編輯]
當雙曲線
的實軸是雙曲線
的虛軸,且雙曲線
的虛軸是雙曲線
的實軸時,稱雙曲線
與雙曲線
為共軛雙曲線。若
的方程為
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6d87e3798ff72cac48672d3a0aec41442b7e4b)
則
的方程為
![{\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a510735be1c0ae12c20a25e9ef62fd08eb27d817)
其特點為:
- 共漸近線,與漸近線平行的直線和雙曲線有且只有一個交點。
- 焦距相等。
- 兩雙曲線的離心率平方後的倒數相加等於
。
極坐標[編輯]
左右開口的雙曲線:
![{\displaystyle r^{2}=a^{2}\sec {2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5be574ccfaf06f2b311793cb5e67e47da5b0c3d)
上下開口的雙曲線:
![{\displaystyle r^{2}=-a^{2}\sec {2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771e1fdc5f60844454a5cf6b300eda3a3c5a444a)
上右下左開口的雙曲線:
![{\displaystyle r^{2}=a^{2}\csc {2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e725e05c3290893f4b9f2914d00fcf55c824d6)
上左下右開口的雙曲線:
![{\displaystyle r^{2}=-a^{2}\csc {2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b043a79c2d229f578121af31ad094f0b4fa8b517)
在所有公式中,中心在極點,而
是半實軸和半虛軸。
雙曲線的參數方程[編輯]
如同正弦和餘弦函數給出橢圓的參數方程,雙曲函數給出雙曲線的參數方程。
左右開口的雙曲線:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=a\sec {t}+h\\y=b\tan {t}+k\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95a89ce4d8b475dc7b5d06190c0997f18fee3b8)
或
![{\displaystyle {\begin{cases}x=a\cosh {t}+h\\y=b\sinh {t}+k\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3ed48dc87712b0f1e3f20c62273eefa9f8e760)
上下開口的雙曲線:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=b\tan {t}+h\\y=a\sec {t}+k\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f271c18f8755b60f07ee7757ad2a76dc13bf52)
或
![{\displaystyle {\begin{cases}x=b\sinh {t}+h\\y=a\cosh {t}+k\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb6803d9225c5ef8ade936e3cd9c0f35bd4f6ec)
在所有公式中,
是雙曲線的中點,
是半實軸而
是半虛軸。
雙曲線的標準方程[編輯]
焦點在
軸:
焦點在
軸:
雙曲線的漸近線方程[編輯]
焦線平行於
軸:
焦線平行於
軸:
圓錐曲線方程[編輯]
當
時,表示雙曲線。其中
為焦點到準線距離,
為弦與
軸夾角。
參考文獻[編輯]
外部連結[編輯]