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卡諾圖

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邏輯代數中,卡諾圖(Karnaugh map)是真值表的變形,它可以將有n個變量的邏輯函數個最小項組織在給定的長方形表格中,同時為相鄰最小項(相鄰與項)運用鄰接律化簡提供了直觀的圖形工具。但是,如果需要處理的邏輯函數的自變量較多(有五個或更多的時候,此時有些項就很難圈了),那麼卡諾圖的行列數將迅速增加,使圖形更加複雜。[1]:189

卡諾圖是貝爾實驗室的電信工程師莫里斯·卡諾(Maurice Karnaugh)在1953年發明的。

變量卡諾圖

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  • 表示各最小項的n-變量數)個小格,排列呈矩形。
  • 小格按「格雷碼」 排列,保證最小項間「幾何相鄰」與「邏輯相鄰性」的統一。(幾何相鄰有「內相鄰」 「外相鄰」和「中心對稱」)

函數卡諾圖

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  • 最小項():把函數包含的所有最小項,以「1」填入變量卡諾圖對應編號的小格內。
  • 最大項():把函數包含的所有最大項,以「0」填入變量卡諾圖對應編號的小格內。

用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟

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  • 如果表達式為最小項表達式,則可直接填入卡諾圖
  • 如表達式不是最小項表達式,但是「與—或表達式」,可將其先化成最小項表達式,再填入卡諾圖。也可直接填入。
  • 合併相鄰的最小項,即根據下述原則畫圈
    • 儘量畫大圈,但每個圈內只能含有(n=0,1,2,3……)個相鄰項。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。
    • 圈的個數儘量少。
    • 卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過,即不能漏下取值為1的最小項。
    • 在新畫的包圍圈中至少要含有1個未被圈過的1方格,否則該包圍圈是多餘的。
  • 寫出化簡後的表達式。每一個圈寫一個最簡與項,規則是,取值為l的變量用原變量表示,取值為0的變量用反變量表示,將這些變量相與。然後將所有與項進行邏輯加,即得最簡與—或表達式。

在進行化簡時,如果用圖中真值為0的項更方便,可以用他們來處理,方法和真值取1時一樣,只是結果要再做一次求反。

範例

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範例--2變數卡諾圖

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範例--4變數卡諾圖

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一個4變量卡諾圖的例子:

某函數的真值表
  A B C D
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 0
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 0
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 1
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 1
15 1 1 1 1 0

我們可以用兩個不同的寫法,及四個不同的布爾變量A, B, C, D和他們的相反值,來表示同一個尚未化簡的布爾代數

  • 這個是卡諾圖的最小項(即圈出來的值在真值表上顯示為1)。
  • 這個 是卡諾圖的最大項(即圈出來的值在真值表上顯示為0)。
某函數的卡諾圖(圈法1)
  A B
C D  
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 1 1
某函數的卡諾圖(圈法2)
  A B
C D  
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 1 1

按照上述卡諾圖圈法(不限於上述兩種),可知化簡結果為AC'+AB'C+BCD'或ABC'+AB'+BCD'

參考文獻

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引註

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  1. ^ Stephen Brown, Zvonko Vranesic. Fundamentals of Digital Logic with Verilog Design. McGraw-Hill Education. 2002. ISBN 0-07-283878-7. 

來源

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期刊文章