在數學中,在複數向量空間V上的半雙線性形式是映射V × V → C,它在一個參數上是線性的而在另一個參數上是反線性(半線性)的。比較於雙線性形式,它在兩個參數上都是線性的;要注意很多作者尤其是在只處理複數情況的時候,把半雙線性形式稱為雙線性形式。
一個主要例子是在複數向量空間上的內積,它不是雙線性的而是半雙線性的。
定義和習慣[編輯]
對哪個參數應當是線性的有不同的習慣。這裡採用第一個是半線性(共軛線性)而第二個參數是線性。基本上所有物理學家皆使用這習慣,這習慣起源於狄拉克在量子力學中使用的狄拉克符號。數學家則可能使用相反的習慣。
指定映射φ : V × V → C是半雙線性的,如果
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\phi (x+y,z+w)=\phi (x,z)+\phi (x,w)+\phi (y,z)+\phi (y,w)\\&\phi (ax,by)={\bar {a}}b\,\phi (x,y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fc709cbf8e9212b09af214f3bb81c3a0789ab6)
對於所有x,y,z,w ∈ V和所有a, b ∈ C。
半雙線性形式可以被看作雙線性形式
![{\displaystyle {\bar {V}}\times V\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859fb953714a7fe046d2e52db2f9ecf7a0e42fd3)
這裡的
是V的複共軛向量空間。通過張量積的泛性質,它一一對應於(複數)線性映射
![{\displaystyle {\bar {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ec52879638b8294e4dc4a8bfbb617ac508e29d)
對於V中固定的z,映射
是在V上的線性泛函(也就是對偶空間V* 的一個元素)。類似的,映射
是V上的共軛線性泛函。
給定V上任何半雙線性形式φ,我們可以通過共軛轉置定義第二個半雙線性形式ψ:
![{\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\phi (z,w)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424d2fa434ab76bcefe985519c8b41f4dd5b2d03)
一般而言,ψ和φ是不同的。如果它們相等,則φ被稱為Hermitian形式。如果它們相互為負值,則φ被稱為斜-Hermitian形式。所有半雙線性形式可以寫為一個Hermitian形式和一個斜-Hermitian形式的和。
幾何動機[編輯]
雙線性形式一般化了平方(
),而半雙線性形式一般化了歐幾里得範數(
)。
關聯於半雙線性形式的範數在乘以複數圓(單位範數的複數)的乘法下是不變的,而關聯於雙線性形式的範數是(關於平方)等變的。雙線性形式在代數上更加自然,而半雙線性在幾何上更加自然。
如果B是在複數向量空間上的雙線性形式而
是關聯的範數,則
。
相反的,如果S是在複數向量空間上的半雙線性形式而
是關聯的範數,則
。
埃爾米特形式[編輯]
- 這個術語還稱呼在埃爾米特流形上的特定微分形式。
埃爾米特形式(也叫做對稱半雙線性形式)是半雙線性形式h : V × V → C,有着
![{\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f99194af12f94ebc91742e9c2fff749129f832)
在Cn上的標準埃爾米特形式為
![{\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068c328b1030876cc80b53dcbeac12344c565426)
更一般的說,在任何希爾伯特空間上的內積都是埃爾米特形式。
如果V是有限維的空間,則相對於V的任何基{ei},埃爾米特形式可表示為埃爾米特矩陣H:
![{\displaystyle h(w,z)={\overline {\mathbf {w} }}^{T}\mathbf {Hz} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97c9aab07fd9870c335a6bdec623ad11f516339)
H的分量給出為Hij = h(ei, ej)。
關聯於埃爾米特形式的二次形式
- Q(z) = h(z,z)
總是實數的。實際上可證明半雙線性形式是埃爾米特形式,當且僅當關聯的二次形式是實數的,對於所有z ∈ V。
斜-埃爾米特形式[編輯]
斜-埃爾米特形式(也叫做反對稱半雙線性形式)是半雙線性形式ε : V × V → C,有着
![{\displaystyle \varepsilon (w,z)=-{\overline {\varepsilon (z,w)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ab7d1aa7c03fc9c8f9d15b76e503f258230e07)
所有斜埃爾米特形式可以寫為i乘以埃爾米特形式。
如果V是有限維空間,則相對於任何V的基{ei},斜埃爾米特形式可表示為斜埃爾米特矩陣A:
![{\displaystyle \varepsilon (w,z)={\overline {\mathbf {w} }}^{T}\mathbf {Az} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1181ab691d7d116e331b08f69b72e9464ccf9620)
關聯於斜埃爾米特形式的二次形式
- Q(z) = ε(z,z)
總是純虛數。