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公式 (數理邏輯)

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數理邏輯中,公式表達命題形式語法對象,除了這個命題可能依賴於這個公式的自由變量的值之外。[需要解釋(似乎翻譯自英語而語焉不詳)]

公式精確定義依賴於涉及到的特定的形式邏輯,但有如下一個非常典型的定義(特定於一階邏輯):公式是相對於特定語言而定義的;就是說,一組常量符號函數符號關係符號,這裡的每個函數和關係符號都帶有一個元數(arity)來指示它所接受的參數的數目。

定義

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項的遞歸定義

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  • 一個變量

  • 一個常量符號

  • ,這裡的是一個n-元函數符號,而是項。

公式的遞歸定義

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  • ,這裡的是項

  • ,這裡的是一個n-元關係符號,而是項

  • ,這裡的是公式

  • ,這裡的是公式

  • ,這裡的是一個變量而是一個公式。

解釋

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公式並不一定具備封閉形式(即不一定沒有省略號)。
  • 階乘「!」、求和式「∑」和求積式「∏」等都隱含省略號。
  • 排列數和組合數等都含有省略號。
按照通項公式去計算有時比按照定義去計算更加複雜。
  • 斐波那契數列公式:

但是相比較按照這個公式計算,還是按照遞歸定義:進行計算更方便。


根據謂詞邏輯的語義推導規則,語義應該具有一致性,就是對於一個命題邏輯語句集f,當且僅當至少存在這樣一種解釋i,f的一切元素在i之下都是真的,那麼,f是語義一致的。在命題邏輯語義學內,一個賦值不能同時把真和假給予某個命題原子式。在命題邏輯語義學中,在同一解釋下,一個集合不能既屬於某個謂詞的外延又不屬於該謂詞的外延。{現代西方哲學邏輯,復旦大學出版社235頁}

原子公式

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參見

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外部連結

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