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全集

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全集與餘集的關係,以文氏圖表示。

數學上,特別是在集合論數學基礎的應用中,全類(Universe,若是集合,則稱作全集)是一個(在某種程度上)包含了所有的研究對象和集合

在特定場合下

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這個一般概念有數個精確的版本。最簡單的情況下可以將任意集合定義成全集,只要研究的對象都是其子集。若研究實數,則所有實數的集合實數線就是全集。在1870年代和1880年代,康托爾第一次發展現代樸素集合論的概念以應用於實分析,這時他默認地使用著的全集就是實數線。康托爾一開始關心的也只是子集

這種全集概念在文氏圖的應用中有所反映。在文氏圖中,所有的操作按例都是在一個表示全集的大長方形內進行。集合通常表示為圓形,但這些集合只能是的子集。集合補集則為長方形中表示的圓形的外面的部分。嚴格地說,這是相對補集';但在是全集的場合下,這可以被當成是絕對補集'。同樣的,有一個稱為空交集的概念,即個集合的交集(指沒有集合,而不是空集)。要是沒有全集,空交集就會是所有東西組成的集合,這一般被認為是不可能的;但有了全集,空交集可以被當成是有條件(即)下的所有東西組成的集合。

在基於布爾格的代數方法研究基礎集合理論時,這種慣例非常有用。但對公理化集合論的一些非標準形式並非如此,例如新基礎集合論,這裡所有集合的並不是布爾格,而僅僅是相對有補格。相反,冪集,即的所有子集組成的集合,是一個布爾格。上述的絕對補集是布爾格中的補運算;而空交集則作為布爾格中的最大元(或空)。這裡,適用於補運算、交運算和並運算(集合論中的併集)的德·摩根律成立,而且對空交和空並(即空集)也成立。

在一般數學中

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然而,當考慮過給定集合的子集(在康托爾的例子中,),可能就會進一步關心的子集組成的集合。 (例如:上的一個拓撲就是一個的子集組成的集合。) 這些不同的的子集組成的集合本身,一般而言並不是的子集,卻是的冪集的子集。當然,這還沒有完;可以進一步考慮的子集組成的集合所組成的集合,等等。另一個方向是:可以考慮笛卡爾積,或從映射到其自身的函數。接著,還可以考慮笛卡爾積上的函數,或從映射到的函數,等等。

這樣,儘管主要關心的是,仍然需要一個比大很多的全集。順着上面的思路,可能需要上的超結構。這可以通過結構遞歸來定義,如下:

  • 自身。
  • 併集
  • 的併集。
  • 一般的,設的併集。則上的超結構,寫作,為,等等,的併集;或

注意到,無論初始集合如何,空集總是屬於。重定義空集為馮·諾伊曼序數。則,是僅含有空集為元素的集合,屬於;定義為馮·諾伊曼序數。類似的,屬於,則的併集也屬於該集合;定義為馮·諾伊曼序數。重複這個過程,所有的自然數都通過其馮·諾伊曼序數在超結構中表現出來。然後,若屬於這個超結構,則(這個集合表示了有序對)也屬於它。從而,這個超結構將包含各種所想要的笛卡爾積。而且,這個超結構也包含各種函數關係,因為他們可以被表示為笛卡爾積的子集。以及,還能夠得到有序 n元組,表示定義域為馮·諾伊曼序數的函數。等等。

所以,就算僅從出發,也可以構造大量的用於數學研究的集合,它們都是在{}上的超結構裡的某個元素。但是,這樣的每個元素都會是有限集合。每個自然數都屬於,但「所有」自然數的集合不屬於(儘管它是的「子集」)。實際上,上的超結構包含了所有的遺傳有限集合。這樣,它可以被認為是「有限主義數學的全集」。可以想像一下,假若19世紀的有限主義者利奧波德·克羅內克當時能使用到這個全集的話;他會相信每個自然數都存在,而集合(一個"完全的無窮大")則不然。

然而,對一般的數學家(它們不是有限主義者)來說,是不足夠的,因為儘管的子集,但的冪集仍然不是。特別的,任意的實數集合都不是。所以,需要重新開始這個過程,來構造。不過,為簡單起見,就只用給出的自然數集合來構造,即上的超結構。這通常被認為是「一般數學的全集」。其意思是指,一般研究的所有數學物件,都已作為這個全集的元素而包含其中。例如:任何通常的實數的構造方式(比如通過戴德金分割)都會屬於。即使是非標準分析,也能夠在自然數的一個非標準模型上的超結構中進行。

應當注意,這個部分在觀念上有些改變,這裡全集是任何被關心的集合。上個部分中,被研究的集合是全集的子集;而現在,它們是全集的元素。這樣儘管是一個布爾格,但相應的不是。因此,幾乎不直接採用布爾格和文氏圖來描述這種超結構式的全集;在上個部分中,它們被用來描述冪集式的全集。作為替代,可以採用獨立的布爾格,這裡中任意相應的集合;則的子集(實際上它屬於)。

在集合論中

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正式來說,可以給出一個精確定義,來說明為何為一般數學的全集;這是策梅洛集合論模型。策梅洛集合論是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合論。策梅洛集合論的成功完全在於它能夠公理化"一般"數學,完成了康托爾在三十年之前開始的課題。但策梅洛集合論對進一步發展公理集合論和數學基礎中的其他工作,特別是模型論,是不夠的。舉一個戲劇性的例子:上述超結構的描述並不能獨立地在策梅洛集合論中完成! 最後一步,構造成為一個無限併集,需要代換公理;這條公理在1922年被加入策梅洛集合論,成為如今通用的策梅洛-弗蘭克爾集合論。所以,儘管一般數學可以在進行,的討論則不再"一般",而是轉向元數學的領域。

但是,若在超級的集合論中,可以發現上述的超結構過程只是超限歸納法的開始。回到(空集),並用(標準的)符號表示。則有,等等,和前面一樣。但是,所謂"超結構"現在只是這個列中的下一項:,這裡為第一個無窮序數。按照序數知識,得到:

可以對任意序數定義。所有的併集為馮·諾伊曼全集

。注意,每個單獨的都是集合,但他們的併集是一個真類。跟代換公理差不多時候加入ZF系統正則公理斷言,每個集合都屬於

參見

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參考書目

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  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag New York, Inc.

外部連結

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