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交運算

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在數學中,在一個集合上的(meet)有兩種定義:關於在這個集合上的偏序的唯一下確界(最大下界),假定下確界存在的話; 或者是滿足冪等律的交換結合二元運算。在任何一個情況下,這個集合與交運算一起是半格。這兩個定義產生等價的結果,除了在偏序方式中有可能直接定義更一般的元素的集合的交。最常見到交運算的領域是

通常把 的交指示為

偏序定義

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A 是帶有偏序 的一個集合,並設 A 中的兩個元素。A 的一個元素 的交(或最大下界或下確界),如果滿足了下列兩個條件:

1. (就是說, 的下界);
2. 對於 A 中的任何 ,使得 ,有着 (就是說, 大於任何其他 的下界)。

如果有 的交,則它的確是唯一的,因為如果 都是 的最大下界,則 ,因而 。如果交確實存在,它被指示為 。在 A 中的某對元素可能缺乏一個交,要麼因為它們根本沒有下界,要麼因為它們的下界中沒有一個大於所有其他的。如果所有的元素對都有交,則交實際上是在 A 上的二元運算,並且容易看出這個運算滿足下列三個條件: 對有 A 中任何元素 ,

a. (交換律),
b. (結合律),
c. (冪等律)。

泛代數定義

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通過定義,在集合 A上的 二元運算 ,如果它滿足上面的三個條件 a, bc。有序對 (A,) 就是交半格。此外,我們可以定義在 A二元關係 ,通過聲稱 當且僅當 。實際上,這個關係是在 A 上的偏序。對於 A 中任何元素 ,

,因為 ,通過公理 c
如果 ,通過公理 a
如果 ,因為 ,通過公理 b

兩個定義的等價性

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如果 (A,) 是偏序集合,使得對於每對 A 中的元素都有交,則確實有 當且僅當 ,因為在後者情況下 確實是 的下界,並且明顯的 是最大下界當且僅當它是下界。所以用泛代數方式的交定義的偏序一致於最初的偏序。

反過來,如果 (A,) 是交半格,並且偏序 按泛代數方式定義,對於A 中某些元素 ,則 關於 的最大下界,因為 ,類似的 ,並且如果 的另一個下界,則 ,從而 。所以這個用最初的交定義的偏序定義的交一致於最初的交。

換句話說,兩種方式生成本質上等價的概念,集合配備了二元關係和二元運算二者,使得每個結構都由另一個確定,而且分別滿足偏序或交的條件。

一般子集的交

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如果 (A,) 是交半格,則交可以被擴為任何非空有限集合的良好定義的交,通過在迭代二元運算中描述的描述的技術。可供選擇的,如果交定義或定義自一個偏序,A 的某個子集確實有關於它的下確界。對於非空有限子集,這兩種方式產生同樣的結果,因為都可以做為交的定義。在 A 的每個子集都有交的情況下,(A,) 是完全格;詳情參見完全性 (序理論)

參見

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