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赝矢量

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一个载有电流的线圈(黑色)会产生磁场(蓝色)。若线圈的位置和电流都对应点线镜面反射,其产生的磁场不会是原磁场的镜面反射,会是原磁场反射后,再加以反向。线圈的位置和电流是向量,但产生的磁场是赝矢量[1]

赝矢量(英语:Pseudovector)也称为伪向量,指的是在瑕旋转下,除了随之反射外,还会再上下翻转的矢量(因为右手定则的关系)。矢量(极矢量)和赝矢量(轴矢量)都是广义上的矢量,在一般旋转下的特性相同。但更严格地说,矢量还要求在瑕旋转下,除了空间反演外,不会再改变方向。

在三维空间中,赝矢量p可以表示为二个极矢量ab外积[2]

以此方式计算的p是赝矢量,其中一个例子是有向平面的法向量。有向平面可以用二个不平行的向量ab来定义[3]。向量a × b垂直此平面(和平面垂直的向量有二个,其方向恰好相反,可以用右手定则决定是哪一个),为一赝矢量。

许多物理量是赝矢量,例如磁感应强度角速度等。在数学上,赝矢量是三维的二重向量,可以由此推得赝矢量的转换规则。n几何代数英语Geometric algebra的赝矢量是n − 1维代数的元素,可以表示为Λn−1Rn。可以由赝矢量引申出赝纯量赝张量,在瑕旋转下会比纯量张量多出一个负号。

物理例子

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物理中赝矢量的例子包括有磁场力矩涡量角动量

一部要远离的车,各轮子对一观察者产生的角动量为向左的,这部车产生的镜像,各轮子对同一观察者产生的角动量也是向左的

考虑赝矢量角动量 L = r × p。假设开一部车前进,各轮子产生的角动量会朝左。若考虑车子的镜像,角动量向量若以一般向量的观点来看,其镜像应该往右,但真正车子镜像的角动量仍然往左(在镜像中的车轮仍然往前进),因此在赝矢量反射后,会比一般向量多一个负号。

矢量和赝矢量之间的不同在研究物理系统的对称性时很重要。考虑在一个z = 0平面上的线圈,上面有电流,会产生一个z方向的磁场,此系统在z平面的镜相反射下是对称(不变)的,磁场不会因镜相反射而相反,但是若将磁场视为一个一般的向量,应该会随镜相反射而相反,其原因就是因为磁场是赝矢量,产生一个额外的负号,因此没有反向。

相关条目

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参考资料

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  1. ^ Stephen A. Fulling, Michael N. Sinyakov, Sergei V. Tischchenko. Linearity and the mathematics of several variables. World Scientific. 2000: 343. ISBN 981-02-4196-8. 
  2. ^ Aleksandr Ivanovich Borisenko, Ivan Evgenʹevich Tarapov. Vector and tensor analysis with applications Reprint of 1968 Prentice-Hall. Courier Dover. 1979: 125 [2014-08-20]. ISBN 0-486-63833-2. (原始内容存档于2016-12-22). 
  3. ^ RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors页面存档备份,存于互联网档案馆) from Chapter 52: Symmetry and physical laws, in: Feynman Lectures in Physics, Vol. 1