在仿射几何和欧氏几何中,莱布尼茨向量和标量函数是把点对应到向量或数量的函数。这种函数和重心关系密切;用重心可以给出函数的简洁形式。
莱布尼茨向量函数[编辑]
考虑仿射空间
和相伴的向量空间
。设
是
点的族,
是
数量的族。与系统
相伴的莱布尼茨向量函数是从
到
的映射,把点
对应到向量
。
设系数和
为零,那么函数是常值。如果有一个系数非零(例如
),这常值等于
,其中
是系统
的重心。
设系数和非零,函数可化简成
![{\displaystyle {\vec {f}}(M)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right){\overrightarrow {MG}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767792d41f22e48436a28fe41790746f5e828006)
这个性质使得多个向量的线性组合可以借由重心化简成一个向量。如果向量空间是有限维,由此可以给出重心的座标。
其实
。
把上式转为座标就是
![{\displaystyle x_{G,k}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{A_{i},k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb514bbcc2e29cc7329e33b5ffa6b49f48d1011f)
莱布尼茨标量函数[编辑]
考虑欧几里得仿射空间
和相伴的域
。设
是
点的族,
是
数量的族。与系统
相伴的莱布尼茨标量函数,是从
到
的映射,把点M对应到数量
。
设系数和
为零,那么函数可化简成
![{\displaystyle f(M)=f(O)+2{\overrightarrow {MO}}\cdot {\vec {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c418aa4af734df20682ea169e63b2e78c769c9fc)
其中
等于与这系统相伴的莱布尼茨向量函数的常值,
是任意固定点。
设系数和非零,那么函数可化简成
![{\displaystyle f(M)=f(G)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)MG^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37a74355caf720683264a9d476ec6c8bc2d6137)
其中
是系统
的重心。
这个化简令点的位置问题可以很容易解决(见莱布尼茨定理)。
例:在2维情形,集
适合
的是
- 当系数和为零
- 与
垂直的直线,如果
非零
- 整个平面或空集(取决于
的值),如果
为零
- 当系数和非零
- 圆心为
的圆,点
或空集(取决于
的值)