泊松求和公式(英文:Poisson Summation Formula)由法国数学家泊松所发现,它陈述了一个连续时间的信号,做无限多次的周期复制后,其傅立叶级数与其傅立叶转换之间数值的关系,亦可用来求周期信号的傅立叶转换。
设无周期函数
具有傅里叶变换:
![{\displaystyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85def3affa06eb370e460e0c7f7a0414a156b9f)
这里的
也可以替代表示为
和
。有如下基本的泊松求和公式:
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44982522b606faf04a155827d13a9c0e7013f3d0)
对于二者通过周期求和而得到的周期函数:
![{\displaystyle s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP),\quad n\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910faebafd43de29f6c38905ecf347d97f62eaef)
![{\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T),\quad k,T\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc24f0cdaebcce6ddd7c33430a56e0665266aace)
这里的参数
并且
,它们有着同
一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式[1][2]:
![{\displaystyle s_{_{P}}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S(k/P)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad k\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e75936265f03753284356fca104c3faffc1295e)
这是一个傅里叶级数展开,其系数是函数
的采样。还有:
![{\displaystyle S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi nTf},\quad n,T\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13dc81218ed4f7e20610a34a6d1eeec2f6486999)
这也叫做离散时间傅里叶变换。
推导泊松求和公式所需的先备公式[编辑]
考虑狄拉克δ函数
,制作一个有无限多个
,且间隔为
的周期函数
。
其傅立叶转换为①
②
证明①转换对[编辑]
=
=
。
证明②转换对[编辑]
设
为周期函数
的傅立叶级数。
可表示为
。
由傅立叶级数得:
。
因此,
。
得到等式:![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd016e98874bc107b0554cf02627233b00626705)
,
经由适当的变量代换,
以
代换,
以
代换,得
(因为n从负无限大到正无限大)
推导泊松求和公式[编辑]
从对频域做取样寻找关系式[编辑]
当
时,得
,
表示一个信号的在时域以
为间隔做取样,在频域以
为间隔做取样,则两者的所有取样点的总和会有
倍的关系。
从对时域做取样寻找关系式[编辑]
当
时,得
,
表示一个信号的在时域以
为间隔做取样,在频域以
为间隔做取样,则两者的所有取样点的总和会有
倍的关系。
综合上述,若时域取样间隔
时,同样地,频域取样间隔
时,得泊松求和公式
。
周期信号的傅立叶转换[编辑]
考虑一个周期为
的周期信号
,
为
的傅立叶转换,取出g(t)在区间
的一个完整周期
,亦即
,
是
的傅立叶转换,其中
是矩形函数。
是
的傅立叶级数。
则
得出一周期信号的傅立叶转换与其傅立叶级数之间的关系。
- ^
Pinsky, M., Introduction to Fourier Analysis and Wavelets., Brooks Cole, 2002, ISBN 978-0-534-37660-4
- ^
Zygmund, Antoni, Trigonometric Series 2nd, Cambridge University Press, 19681988, ISBN 978-0-521-35885-9
延伸阅读[编辑]
- Benedetto, J.J.; Zimmermann, G., Sampling multipliers and the Poisson summation formula, J. Fourier Ana. App., 1997, 3 (5) [2008-06-19], (原始内容存档于2011-05-24)
- Gasquet, Claude; Witomski, Patrick, Fourier Analysis and Applications, Springer: 344–352, 1999, ISBN 0-387-98485-2
- Higgins, J.R., Five short stories about the cardinal series, Bull. Amer. Math. Soc., 1985, 12 (1): 45–89 [2023-10-30], doi:10.1090/S0273-0979-1985-15293-0
, (原始内容存档于2020-08-12)