欠采样

Under Sampling，也被称为欠取样、下取样或低取样。欠取样指的是以低于奈奎斯特速率的频率对讯号进行取样，由于离散傅立叶转换具周期性的性质，这样做通常会使得高频与低频的频谱混叠，导致讯号失真，而无法还原成原本的讯号。

若是对带通讯号进行欠取样，由于频谱集中在某个非零的范围，取样频率在满足特定条件下尽管低于奈奎斯特速率，还是能还原出原本讯号。这种取样也被称为带通取样、谐波取样、中频取样、直接中频数字转换。

解释

实数傅立叶转换在０赫兹轴上对称，经过取样后，原本的傅立叶转换只剩下一个周期性总和，原始的傅立叶转换在频率上被平移而形成的副本称为频谱副本（aliases），频谱会以取样频率 f_s 为周期重复出现，相邻的频谱副本间隔为 f_s 。

当这些频谱副本在频谱上互不重叠，便可以从取样值中还原原始傅立叶转换与原始的连续时间函数，或甚至其在频率上平移的版本。图 1 的第一与第三张图显示了一个原始基频频谱（baseband），以及以能够完全分离频谱副本的取样率取样后的频谱。

图１：前两张图代表在特定的取样频率下，两个函数的傅立叶转换有相同的结果。基频函数（第一张图）的取样频率较奈奎斯特频率快，带通函数（第二张图）是经由欠取样后再转换至基频。后两张图显示混叠如何产生两个相同的频谱。

图１的第二张图描述的是一个带通讯号在频率上的分布情形，其频带范围为（Ａ，Ａ＋Ｂ）（蓝色区块），以及以０赫兹为对称中心的镜像影像（橘色区块）。

没有失真，也就是没有产生破坏性混叠时取样率 f_s 须符合此条件：两个频带的频谱副本在移动 f_s 的整数倍后不会重叠。

选择取样频率 f_s

图１的第四张图显示了以和基频讯号相同的取样速率取样后产生的频谱结果。选择取样率 f_s 的方法如下：

1. f_s 可以整除Ａ（确保频谱对齐）
2. 满足奈奎斯特准则f_s > 2B

满足以上两个条件所选择出来的取样率能有效地将带通讯号转换为基频讯号。

我们也给所有能避免混叠的合法取样率一个更一般通则来推导，A 和 A+B 分别以 f_L 和f_H 代表：

${\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}$，对于任何满足以下条件的整数ｎ： $1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor$

ｎ越大，所得的取样率 f_s 就越小。

这类重要的讯号包括：无线电的中频（IF）、射频（RF）、信号以及滤波器组（filter bank）中的各个通道。

频谱范围的限制条件

如果ｎ＞１，会导致我们称为欠取样、带通取样或低于奈奎斯特速率的取样（2f_H）。在给定一个取样频率的情况下，下文提供了更简单的公式，来描述讯号频谱范围（spectral band）所需满足的限制条件。

图２、FM 广播的频宽 (88–108 MHz) 及其在以 44 MHz (n = 5) 取样时在基频附近的的频谱副本。在这种情况下需要一个与 FM 频段紧密对齐的抗混叠滤波器。

范例：以 FM 广播为例来说明欠取样的概念。

在美国，FM 广播的工作频带为 f_L = 88 MHz 到 f_H = 108 MHz，频宽为

$W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz}$。

满足前段提到的取样频率条件的ｎ：

$1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \over 20\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor$

图３、FM 广播的频宽 (88–108 MHz) 及其在以 56 MHz (n = 4) 取样时在基频附近的的频谱副本。这时抗混叠滤波器有足够的过渡带空间。

因此，ｎ 可以是１、２、３、４或５。

当ｎ＝５，会得到最低的取样频率区间 $43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}$ ，而这就是一个欠取样的例子。在这个情况下，讯号的频谱会落在取样频率的２至 2.5 倍之间，也就是 88 MHz 到 108 MHz 之间。

若选择较小的ｎ也能得到实用的取样频率。例如ｎ＝４，FM 频段落在取样率的 1.5 到 2.0 之间，这时取样率约为 56 MHz（奈奎斯特频率的倍数为28、56、84、112 ⋯⋯等）具体频谱排列可参考图２和图３。

在实际应用中，取样电路必须快到能够撷取频率中的最高频成分。理论上每次取样都应该在无限短的时间内完成，但这在现实生活中并不可行。因此，实际取样时间必须足够短，以便精确反映高频讯号的瞬时值。

这代表在 FM 广播的例子中，取样电路必须要能够撷取到 108 MHz 的讯号，而不是 43.2 MHz。

因此，取样频率可能稍微大于 43.2 MHz ，但输入讯号的频宽至少要 108 MHz。

而取样时机的精确度（通常由类比数位转换器（ADC）决定）也必须选择能够处理 108 MHz 的讯号，而非较低的取样频率。

如果将取样定理误解为“取样率需为最高频率的两倍”，这样得到的取样率会远大于奈奎斯特率$108\ \mathrm {MHz} *2=216\ \mathrm {MHz}$。虽然这的确避免了混叠的产生，但却造成严重的过取样（oversampling）。

需要注意的是，若ｎ＞１，我们的抗混叠滤波器就需要使用带通而非低通滤波器。

一般的基频条件

就如上述，一个能够被重建回来的基频条件是在 $\scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)$ 之外 X(f) = 0，也就是说，讯号的频谱应完全在奈奎斯特频宽内。而将讯号重建回来的内插函数或低通滤波器的脉冲响应为 $\scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right)$ ，其中 $T=1/f_{s}$ 。

欠取样的频域条件

因为欠取样，带通讯号的条件为在 $\left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)$ 之外 X(f) = 0，其中ｎ为任意正整数，这代表频谱被限制在不为０的较高频带区域。当ｎ＝１时，频带在０会合，就适用一般的基频条件。

相应的内插函数为一带通滤波器，也就是两个低通滤波器的差值： $n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)$

对于欠取样的 IF 或 RF 讯号，他们的目标通常不是重建回原始讯号，而是将取样过后的讯号平移至基频附近，视为一般讯号，进而能进行数位解调（注意当ｎ为偶数会有频谱镜像的问题）。

欠取样的概念能进一步推广到多频带信号或多维讯号，此领域已被 Igor Kluvánek.详细研究并发展。