在数学及其应用中,以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆(1803–1855)和约瑟夫·刘维尔(1809–1882)的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\!\!\left[\,p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ed22ff2571ca9f5bc6f1236c5f57aea09ec786) | | (1) |
其中给定系数函数p(x), q(x), 和w(x)均为已知函数,和y是以x为自由变量的未知的待求解函数,称为解;
是一个未定常数。w(x)又记为r(x),称为'权(weight)'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。
在一个正则的施图姆-刘维尔(S-L)本征值问题中,在有界闭区间[a,b]上,三个系数函数
应满足以下性质:
;
均连续;
满足边界条件
及
(
)。
只有一些恰当的
能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解(非零解)。这些
称为方程的特征值,对应的非平凡解称为特征函数,而特征函数的集合则称为特征函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中,引入埃尔米特算子,形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特征值的存在性和渐近性,以及特征函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要,尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。
施图姆-刘维尔理论提出:
- 施图姆-刘维尔特征值问题,存在无限多个实数特征值,而且可以排序为:
;
- 对于每一个特征值
都有唯一的(已被归一化的)特征函数
,且
在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中
称为满足上述施图姆-刘维尔特征值问题的第n个基本解;
- 已归一化的特征函数族在希尔伯特空间
上有正交性和完备性,形成一组正交基:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef208ebb27aa2433930592e93020500d50a56c26)
- 其中
是克罗内克函数。
一些函数的施图姆-刘维尔形式[编辑]
只要乘以一个恰当的积分因子,所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。
![{\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu ^{2})y=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020890b93ad8fd08f75d092eb374e561ba6cc6cd)
- 等价于:
![{\displaystyle (xy')'+(x-\nu ^{2}/x)y=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938761b4ae89ca3902f2fda8dbcbe087cf64dcf3)
![{\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0\;\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e903d09000ae84a403dff8866db81298b82a7bbe)
- 注意到 D(1 − x2) = −2x,因此等价于:
![{\displaystyle [(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0\;\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015a50c6b6390ffe82f5b410b427d8e2e42c89e8)
二体问题常用的换元的技巧是通过
和
将原方程中对时间的求导转化为对角度
的求导,并得到Sturm-Liouville型方程[1]
![{\displaystyle (Lu')'+Lu=1/L\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02d983bb7392e10b72dd4a7058a8ba56daf3b3e)
使用积分因子的例子[编辑]
![{\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538a7fd72fcc777f92b5ca8ded8512574dddf029)
- 两边同时除以x3:
![{\displaystyle y''-{x \over x^{3}}y'+{2 \over x^{3}}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ebb7ccb2dd6318e0bed7ca842ed4277aa61332)
- 再乘以积分因子:
![{\displaystyle \mu (x)=e^{\int -{x/x^{3}}\,\mathrm {d} x}=e^{\int -{1/x^{2}}\,\mathrm {d} x}=e^{1/x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d758b3751a68fd3eee87451f8782f2c454081d)
- 得到:
![{\displaystyle e^{1/x}y''-{e^{1/x} \over x^{2}}y'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ddf3cd4d0b7b13b952d7dd39aaa84f15aed5ca)
- 又注意到:
![{\displaystyle De^{1/x}=-{e^{1/x} \over x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b20a9d64ab12a1c0dc377f0e641bb679515b58)
- 因此原方程等价于:
![{\displaystyle (e^{1/x}y')'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae088b0e18450db076cc346c811cfefb3058c57)
一般形式二阶常微分方程的积分因子[编辑]
![{\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8b873d0c2fbadc00867b78283836d28c724942)
- 两边同时乘以积分因子:
![{\displaystyle \mu (x)={1 \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecb1736e74632cebc705f706d920938133e3be7)
- 整理后得到:
![{\displaystyle {d \over dx}(\mu (x)P(x)y')+\mu (x)R(x)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32c229fa5d651bc5744f0a49f4dbe297d03a315)
- 或者把积分因子写出来:
![{\displaystyle {d \over dx}(e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y')+{R(x) \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e022fc61a9cc5e2f10c8aeb759c0c89f35279b0)
参考文献[编辑]