关于将整数写成其他整数的乘积,请见“
整数分解”。
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一个正整数可以写成一些正整数的和。在数论上,跟这些和式有关的问题称为整数拆分、整数剖分、整数分割、分割数或切割数(英语:Integer partition)。其中最常见的问题就是给定正整数
,求不同数组
的数目,符合下面的条件:
(
的大小不定)
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{k}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcd1b821b14e9331769f190524453d2b0f914d2)
- 其他附加条件(例如限定“k是偶数”,或“
不是1就是2”等)
分割函数p(n)是求符合以上第一、二个条件的数组数目。
拆分数量数列[编辑]
4可以用5种方法写成和式:4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此
。
定义
,若n为负数则
。
此函数应用于对称多项式及对称群的表示理论等。
分割函数p(n),n从0开始:
- 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77......(OEIS:A000041)
程式实现[编辑]
#include <iostream>
#define MAXLENTH 20000
using namespace std;
int main() {
const int len = MAXLENTH;
long num[len + 1] = { 1 }; // 即使使用long也会快速溢出
for (int i = 1; i <= len; ++i)
for (int j = i; j <= len; ++j)
num[j] += num[j - i];
for (int i = 0; i <= len; i++)
cout << i << " " << num[i] << endl;
return 0;
}
Ferrers图示与恒等式[编辑]
每种分割方法都可用Ferrers图示表示。
Ferrers图示是将第1行放
个方格,第2行放
个方格……第
行放
个方格,来表示整数分割的其中一个方法。
借助Ferrers图示,可以推导出许多恒等式:
- 给定正整数k和n,n表达成不多于k个正整数之和的方法数目,等于将n分割成任意个不大于k的正整数之和的方法数目。
证明:将表示前者其中一个数组的Ferrers图示沿对角线反射,便得到后者的一个数组。即两者一一对应,因此其数目相同。
例如 k=3,n=6:
此外,
![{\displaystyle 6=1+5=1+1+1+1+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1221efc065379db8c990ba83ad5e94999fce4c3)
![{\displaystyle 6=2+4=2+2+1+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3efc19b87bc0561b008ed288fdb7f929e9edb930)
![{\displaystyle 6=3+3=2+2+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c2349bef8bd9dd75081c1c6dfdd09e722a7add)
![{\displaystyle 6=6=1+1+1+1+1+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1433e89b0a0efdf375ea8058704d7812441c5864)
- 上述恒等式的值亦等于将
表达成刚好
个正整数之和的方法的数目。
- 给定正整数
。将
表达成两两相异正整数之和的方法的数目,等于将
表达成奇数之和的方法的数目。
例如
:
- 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
- 7 + 1
- 3 + 3 + 1 + 1
- 5 + 3
- 5 + 1 + 1 + 1
- 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
- 8
- 7 + 1
- 6 + 2
- 5 + 3
- 5 + 2 + 1
- 4 + 3 + 1
- 将
表达成
个1和
个2之和,这些方法的数目是第
个斐波那契数。
- 将
表达成多于1的正整数之和的方法数目是p(n) - p(n-1)。
生成函数[编辑]
的生成函数是
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{k}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e1325c16d6a04da6f2a4fc63446c8dc5f55be0)
当|x|<1,右边可写成:
![{\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3}+...)(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+...)(1+x^{3}+x^{6}+...)...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971838305763b3ea967c6f5f3059b4725ae983c3)
生成函数的倒数为欧拉函数,利用五边形数定理可得到以下的展开式:
![{\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})=\sum _{i=-\infty }^{\infty }(-1)^{i}x^{i(3i-1)/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f47a671c5dc26f36cc88f9eab2b4ee6e38600c)
将
生成函数配合五边形数定理,可以得到以下的递归关系式
![{\displaystyle p(n)=\sum _{i}(-1)^{i-1}p(n-q_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d2907100f525090adfbaeca230d7c7e74f37b3)
其中
是第
个广义五边形数。
与杨图的关系[编辑]
一个 (5, 4, 1)分拆表示的杨表
一个杨图唯一地对应于一个整数分拆,也就是说整数分拆的个数等于相应的杨图的个数。如图所示的杨图表示一个10=5+4+1的分拆。利用杨图来表示的分拆更直观性且易操作。
分拆的共轭[编辑]
(5, 4, 1)分拆的转置(3, 2, 2,2,1)
将整数分拆(10=5+4+1)对应的杨图进行行列反转得到新的杨图(共轭杨图)。它对应的分拆为10=3+2+2+2+1。
Rademacher级数[编辑]
渐近式:
![{\displaystyle p(n)\sim {\frac {\exp \left(\pi {\sqrt {2n/3}}\right)}{4n{\sqrt {3}}}}{\mbox{ as }}n\rightarrow \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b755f8c37623693cc5bcbfec444f1a2033fc4e)
这式子是1918年哈代和拉马努金,以及1920年J. V. Uspensky独立发现的。
1937年,Hans Rademacher得出一个更佳的结果:
![{\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n)\;{\sqrt {k}}\;{\frac {d}{dn}}\left({\frac {\sinh \left({\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}\right)}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d592ebc031ef0826b9457d3df2470bc2acac7f1c)
其中
。
表示
互质时才计算那项。
表示戴德金和。这条公式的证明用上了和戴德金η函数、福特圆、法里数列、模群。
Elder定理[编辑]
在将
表示成正整数之和的所有和式之中,任意正整数
作为和项出现在这些式子内的次数,跟每条和式中出现
次或以上的正整数数目,相同。
当
时,此定理又称为Stanley定理。[1][2]
以
为例:
- 5
- 4+1
- 3+2
- 3+1+1
- 2+2+1
- 2+1+1+1
- 1+1+1+1+1
- 1的总出现次数:0+1+0+2+1+3+5=12;在每条和式出现1次或以上的数的数目:1+2+2+2+2+2+1=12
- 2的总出现次数:0+0+1+0+2+1+0=4;在每条和式出现2次或以上的数的数目:0+0+0+1+1+1+1=4。
附加要求的分拆[编辑]
以下叙述带有附加条件的分拆。
差分拆[编辑]
考虑满足下面条件分拆
(
的大小不定)
即分拆的每个数都不相等。
生成函数是
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+x^{k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a005704559e9a4d7584d304ca92d625ac95686)
奇分拆[编辑]
考虑满足下面条件分拆
(
的大小不定)
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa16a668afd1abb2d79bff2b7b56b36a9672db3)
- 要求
为奇数
生成函数是
.
差分拆的个数与奇分拆的个数是一样多的。
可以通过杨表证明。
部分个数上限的分拆[编辑]
当限定将
表示成刚好
个正整数之和时,可以表示为
。显然,
。
- 对于
,![{\displaystyle p_{n}(n)=p_{1}(n)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70dfccc1f390aef4d2ce6edae8a33bf4d6fad6eb)
(OEIS:A004526)
= 最接近
的正整数。(OEIS:A069905)
![{\displaystyle p_{n-1}(n)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def3169725693cee41f8c7a92364e0eab26839f0)
![{\displaystyle p_{k}(n)=p_{k-1}(n-1)+p_{k}(n-k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1102e421c2415d5ec0165c802c52b10734489576)
其他常见的问题[编辑]
不少数学家亦有研究按以下方式分拆的方法数目:
- 将正整数写成模p同馀r的正整数之和
- 将模p同馀r正整数写成的正整数之和[3]
参考资料[编辑]
外部链接[编辑]