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小二十面化截半二十面体

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小二十面化截半二十面体
小二十面化截半二十面体
类别均匀星形多面体
对偶多面体小二十角星化六十面体英语Small icosacronic hexecontahedron
识别
名称小二十面化截半二十面体
small icosicosidodecahedron
small icosified icosidodecahedron
参考索引U31, C40, W71
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
siid
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node 1 3 node 5 node h3 
label5-2 branch 01rd split2 node 1 
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
5/2 3 | 3
性质
52
120
顶点60
欧拉特征数F=52, E=120, V=60 (χ=-8)
组成与布局
面的种类20个正三角形
12个正五角星
20个正六边形
顶点图6.5/2.6.3
对称性
对称群Ih, [5,3], *532
图像
立体图
6.5/2.6.3
顶点图

小二十角星化六十面体英语Small icosacronic hexecontahedron
对偶多面体

小二十面化截半二十面体(small icosified icosidodecahedron)又称小二十面截半二十面体(small icosicosidodecahedron)是一种星形均匀多面体,由20个正三角形、12个正五角星和20个正六边形组成[1],索引为U31对偶多面体小二十角星化六十面体英语Small icosacronic hexecontahedron[2],具有二十面体群对称性英语Icosahedral symmetry[3][1][4],并且与大二十面化截半二十面体拓朴同构[5]

性质

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小二十面化截半二十面体共由52个、120条和60个顶点组成。[3]在其52个面中,有20个正三角形面、12个正五角星面和20个正六边形面[1][6]。在其60个顶点中,每个顶点都是2个正六边形面、1个正三角形面和1个正五角星面的公共顶点,并且这些面在构成顶角的多面角时,以正五角星、正六边形、正三角形和正六边形的顺序排列,在顶点图中可以用(5/2.6.3.6)[7](6.5/2.6.3)[6][3]来表示。

表示法

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小二十面化截半二十面体在考克斯特—迪肯符号英语Coxeter-Dynkin diagram中可以表示为node 1 3 node 5 node h3 (x3o5β)[8]label5-2 branch 01rd split2 node 1 [9](x5/2o3x3*a)[8],在威佐夫记号中可以表示为5/2 3 | 3[10][3]

尺寸

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若小二十面化截半二十面体的边长为单位长,则其外接球半径为:[1]

边长为单位长的二十面化截半大十二面体,中分球半径为:[1]

二面角

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小二十面化截半二十面体共有两种二面角,分别为六边形面和三角形面的二面角以及六边形面和五角星面的二面角。[1][5]

其中,六边形面和三角形面的二面角为负5平方根的三分之一之反馀弦值[5],角度约为138.19度:[1]

而六边形面和五角星面的二面角为角度约为142.62度:[1]

分类

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由于小二十面化截半二十面体的顶点图为梯形且具备点可递的特性,同时,其存在自相交的面,因此小二十面化截半二十面体是一种自相交拟拟正多面体(Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra)。自相交拟拟正多面体一共有12种[11],除了小双三角十二面截半二十面体外,其馀由阿尔伯特·巴杜罗(Albert Badoureau)于1881年发现并描述。[12]

自相交拟拟正多面体
(Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra)

小立方立方八面体

大立方截半立方体

非凸大斜方截半立方体

小十二面截半二十面体

大十二面截半二十面体

小双三角十二面截半二十面体

大双三角十二面截半二十面体

二十面化截半大十二面体

小二十面化截半二十面体

大二十面化截半二十面体

斜方截半大十二面体

非凸大斜方截半二十面体

相关多面体

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小二十面化截半二十面体与大星形截角十二面体共用相同的顶点布局。其也与小双三角十二面截半二十面体小十二面二十面体共用相同的边布局。[13]


大星形截角十二面体

小二十面化截半二十面体

小双三角十二面截半二十面体

小十二面二十面体

参见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Small Icosicosidodecahedron. [2022-08-24]. (原始内容存档于2022-08-24). 
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Small Icosicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Maeder, Roman. 31: small icosicosidodecahedron. MathConsult. [2022-08-24]. (原始内容存档于2022-01-28). 
  4. ^ Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. (原始内容存档于2013-09-02). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Richard Klitzing. small icosicosidodecahedron, siid. bendwavy.org. [2022-08-24]. (原始内容存档于2022-01-21). 
  6. ^ 6.0 6.1 Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #36, small icosicosidodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-24). 
  7. ^ Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-24]. (原始内容存档 (PDF)于2022-08-14). 
  8. ^ 8.0 8.1 Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. (原始内容存档于2018-07-07). 
  9. ^ Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-24]. (原始内容存档 (PDF)于2022-08-14). 
  10. ^ V.Bulatov. small icosicosidodecahedron. [2022-08-24]. (原始内容存档于2022-08-24). 
  11. ^ David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-24]. (原始内容存档于2022-08-22). 
  12. ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172. 
  13. ^ Robert Webb. Great Stellated Truncated Dodecahedron. software3d.com. [2022-08-24]. (原始内容存档于2019-09-26).