增失根

增根（或伪解）是指通过问题求解过程产生，但并非原问题有效解的答案。而失根则是指本应存在的有效解在求解过程中丢失。这两种情况通常源于对变量执行了不可逆的操作，导致逻辑推理链无法双向成立。

增根

代数的基本原则之一，是在不改变方程式的解的情况下，用相同的式子乘以方程式的两边。然而，严格来说，这是不正确的，因为乘以相同的式子可能会产生原方程式没有出现的解。下面是一个会产生增根的方程的例子：

${\frac {1}{x}}={\frac {2}{x}}$

等式两边乘以 $x^{2}$ ，得

$x=2x$

得 $x=0$

但将 $x=0$ 代入原方程中，得

${\frac {1}{0}}={\frac {2}{0}}$

此时，出现了分母为零的情况，所以这是一个增根，是等式两边乘以零所致。

下面是一个可能失根的方程的例子：

$x^{2}=2x$

运算时可能错误地将两边除以 $x$ ，得

$x=2$

这个根固然是正确的，但忽略了另一个正确的根 $x=0$ ，是等式两边除以零所致。