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半鞅

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半鞅(Semimartingale)是概率论的概念。若一随机过程为一局部鞅和一适应的有界变差过程之和,则称该随机过程为一半鞅。半鞅的概念包含了众多常用的随机过程,扩充了伊藤积分的定义范围,从这个意义上说,半鞅是和局部鞅的扩展。

定义

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一个定义在带域流的概率空间(Ω,F,(Ft)t ≥ 0,P)的实值随机过程 X 被称为半鞅,若 X 有如下分解:

其中 M 为一局部鞅,而A 是一个右连左极的适应的有界变差过程。

性质

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  • 多个半鞅的线性组合仍然是半鞅。
  • 多个半鞅的积仍然是半鞅。
  • 任意半鞅的二次变差都存在。
  • X为一半鞅, f为二次连续可微函数,则 f(X)也是半鞅。

例子

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  • 凡是右连左极鞅都是半鞅,更一般地,上鞅和下鞅也都是半鞅。
  • 布朗运动是连续鞅,因此也是半鞅。
  • 适应并连续可微过程是有界变差过程,因此也是半鞅。
  • 莱维过程并不一定都是鞅,但一定都是半鞅。

参见

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参考文献

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  • Revuz, Daniel; Yor, Marc, Continuous Martingales and Brownian Motion 3rd, Springer, 2004, ISBN 978-3540643258