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内射模

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内射模(英语:injective module),在模论中,是具有与有理数 (视为 -)相似性质的模。内射模是投射模的对偶概念,由Reinhold Baer于1940年引进。

定义

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一个 上的左模 若满足以下等价条件,则称之为内射模

  • 是另一个左 -模 的子模,则存在另一个子模 使得
  • 是左 -模的单射, 为同态,则存在同态 使得 。图示如下:
内射模 Q 的交换图
  • 任何短正合序列 都分裂。
  • 函子 正合函子

右模的定义类此。抽象地说,内射模乃是模范畴中的内射对象

例子

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  • 零模是内射模的平凡例子。
  • ,则任何 -模(即 -向量空间)都是内射模,此点可由的性质证明。
  • 紧群(例如有限群), 为特征为零的。根据紧群的表示理论,可知任何表示的子表示都是其直和项;若翻译为模的语言,即是:群代数 上的所有模都是内射模。
  • 为域 上含单位元的有限维结合代数。则逆变函子 给出有限生成左 -模与有限生成右 -模的对偶性。因此,有限生成的左 -模在同构的意义下皆可写作 ,其中 是某个有限生成的投射右 -模。
  • 在一般的环上也存在充足的(在内射分解的意义下)投射模,以下将述及相关理论。初步的例子包括: 对加法形成内射 -模。群 )是内射 -模,而非内射 -模。
  • 若一个环作为它自身的左模是内射的,就称为一个左自内射环(英语:left self-injective ring)。右自内射环可对称的定义。半单环,整数的剩余类环是自内射环。一个左自内射环不一定是右自内射的。

性质

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内射模的直积(包括无穷直积)仍是内射模,内射模的有限直和仍为内射模。一般而言,内射模的子模、商模或无穷直和并不一定是内射模。

Baer 在其论文中证明了一个有用的结果,通常称作 Baer 判准:一个左 -模 是内射模若且唯若定义在任一理想 上的态射 都能延拓到整个 上。

利用此判准,可证明主理想域 上的模 是内射模若且唯若 可除,即:对任何 ,存在 使得 ,由此可证 是内射 -模,向量空间都是内射模。

最重要的内射模当属 :它是 -模范畴中的内射上生成元,换言之,这是内射模,而且任何 -模皆可嵌入某个 中,其中 是够大的基数。由此可知任何 -模皆可嵌入某个内射 -模。此性质对任意环 上的左模都成立,要点在于利用 的特性构造左 -模范畴中的内射上生成元。

我们也可以定义模的内射包(基本上是包含一个模的最小内射模)。任意模 都有内射分解,这是形式如下的正合序列

其中每个 都是内射的。内射分解可以用以定义模的内射维度(基本上是内射分解的最短长度,可能是无限的)及导函子

不可分解内射模的自同态环是局部环

文献

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  • F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992.

参见

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